Cho tam giác ABC. Biết rằng các vecto \(\overrightarrow{CA},\overrightarrow{CB}\) có tọa độ là \(\overrightarrow{CA}\left(a_1;a_2\right),\overrightarrow{CB}\left(b_1;b_2\right)\). Kí hiệu \(S\) là diện tích tam giác \(CAB\). Khẳng định nào sau đây đúng?
\(S=\dfrac{1}{2}\left|a_1a_2-b_1b_2\right|\) \(S=\dfrac{1}{2}\left(a_1b_2-a_2b_1\right)\) \(S=\dfrac{1}{2}\left(a_1b_2+a_2b_1\right)\) \(S=\dfrac{1}{2}\left|a_1b_2-a_2b_1\right|\) Hướng dẫn giải:Ta có \(S=\dfrac{1}{2}CA.CB.\sin C=\dfrac{1}{2}CA.CB.\sqrt{1-\cos^2C}\) và \(\cos C=\dfrac{\overrightarrow{CA}.\overrightarrow{CB}}{CA.CB}=\dfrac{a_1b_1+a_2b_2}{CA.CB}\) nên
\(S=\dfrac{1}{2}CA.CB.\sqrt{1-\left(\dfrac{a_1b_1+a_2b_2}{CA.CB}\right)^2}\)\(=\dfrac{1}{2}CA.CB.\dfrac{\sqrt{CA^2CB^2-\left(a_1b_1+a_2b_2\right)^2}}{CA.CB}\)
\(=\dfrac{1}{2}\sqrt{\left(a_1^2+a_2^2\right)\left(b_1^2+b_2^2\right)-\left(a_1b_1+a_2b_2\right)^2}=\dfrac{1}{2}\sqrt{\left(a_1b_2-a_2b_1\right)^2}\)
\(S=\dfrac{1}{2}\left|a_1b_2-a_2b_1\right|\)
Cách khác: Thử trường hợp \(\overrightarrow{OA}=\overrightarrow{i}=\left(1;0\right),\overrightarrow{OB}=-\overrightarrow{j}=\left(0;-1\right)\) thì \(a_1=1;a_2=0;b_1=0;b_2=-1\)thì tam giác OAB vuông cân tại O với hai cạnh góc vuông bằng 1 nên có \(S=\dfrac{1}{2}\) trong khi đó
\(S=\dfrac{1}{2}\left|a_1a_2-b_1b_2\right|=\dfrac{1}{2}\left|0-0\right|=0\)
\(S=\dfrac{1}{2}\left(a_1b_2-a_2b_1\right)=0\)
\(S=\dfrac{1}{2}\left(a_1b_2+a_2b_1\right)=0\)
\(S=\dfrac{1}{2}\left|a_1b_2-a_2b_1\right|=\dfrac{1}{2}\left|1.\left(-1\right)-0.0\right|=\dfrac{1}{2}\)
Vì vậy chỉ có \(S=\dfrac{1}{2}\left|a_1b_2-a_2b_1\right|\) là công thức đúng.
