Cho một tam giác ABC có đường cao AA' bằng bán kính của đường tròn ngoại tiếp tam giác. Hãy thiết lập một hệ thức giữa sin B và sin C.
\(\sin B.\sin C=\frac{1}{3}\) \(\sin B+\sin C=\frac{1}{2}\) \(\sin B.\sin C=\frac{1}{2}\) \(\sin B+\sin C=1\) Hướng dẫn giải:
Theo giả thiết ta có \(AA'=R\) nên \(BA'=R\cot B;A'C=R\cot C\)
\(\Rightarrow BC=R\left(\cot B+\cot C\right)=R.\dfrac{\sin B\cos C+\sin C\cos B}{\sin B.\sin C}=\dfrac{1}{2\sin B.\sin C}\left(b\cos C+c\cos B\right)\)
\(=\dfrac{1}{2\sin B\sin C}\left(b.\dfrac{a^2+b^2-c^2}{2ab}+c.\dfrac{a^2+c^2-b^2}{2ac}\right)=\dfrac{a}{\sin B\sin C}=\dfrac{BC}{2\sin B\sin C}\)
Suy ra \(\sin B\sin C=\dfrac{1}{2}\).
Chú ý: Trong Lượng giác các em sẽ được học công thức cộng cung \(\sin\left(x+y\right)=\sin x\cos y+\sin y\cos x\). Sử dụng công thức này có thể thu gọn phép chứng minh trên như sau:
\(\Rightarrow BC=R\left(\cot B+\cot C\right)=R.\dfrac{\sin B\cos C+\sin C\cos B}{\sin B.\sin C}=R.\dfrac{\sin\left(B+C\right)}{2\sin B.\sin C}=\dfrac{R\sin A}{2\sin B\sin C}\)
\(\sin B\sin C=\dfrac{R\sin A}{BC}=\dfrac{\dfrac{1}{2}BC}{BC}=\dfrac{1}{2}\)
