Cho hàm số \(f\left(x\right)\)với tập xác định \(D=\left(-\infty;+\infty\right)\backslash\left\{0\right\}\) thỏa mãn điều kiện \(f\left(x\right)+3f\left(\dfrac{1}{x}\right)=x,\forall x\in D\). Khẳng định nào sau đây đúng?
\(f\left(x\right)=\dfrac{x^2-3}{8x}\).\(f\left(x\right)=\dfrac{x^2+3}{8x}\).\(f\left(x\right)=\dfrac{-x^2+3}{8x}\).\(f\left(x\right)=\dfrac{-x^2-3}{8x}\).Hướng dẫn giải:\(\forall t\in D\) thì theo giả thiết \(f\left(t\right)+3f\left(\dfrac{1}{t}\right)=t\).
Mặt khác \(t\in D\Rightarrow t\ne0\Rightarrow\dfrac{1}{t}\ne0\Rightarrow f\left(\dfrac{1}{t}\right)+3f\left(1:\dfrac{1}{t}\right)=\dfrac{1}{t}\). Do đó ta có hệ phương trình
\(\left\{{}\begin{matrix}f\left(t\right)+3f\left(\dfrac{1}{t}\right)=t\\3f\left(t\right)+f\left(\dfrac{1}{t}\right)=\dfrac{1}{t}\end{matrix}\right.\)
Giải hệ này ta được \(f\left(t\right)=\dfrac{-t^2+3}{8t},\forall t\in D\), suy ra \(f\left(x\right)=\dfrac{-x^2+3}{8x},\forall x\in D\)
