Cho đường tròn tâm O, đường kính AB = 2R. Trên đường thẳng AB, lấy 1 điểm M tùy ý nằm ngoài đường tròn. Qua M kẻ một cát tuyến tùy ý cắt đường tròn tại C và D. Các dây AD và BC cắt nhau tại N. Biểu thức \(\overline{AN}.\overline{AD}+\overline{BN}.\overline{BC}\) có giá trị không đổi khi cát tuyến MCD quay quanh M. Hãy tính giá trị không đổi đó.
\(2R^2\) \(3R^2\) \(4R^2\) \(8R^2\) Hướng dẫn giải:
Từ N hạ NH vuông góc với AB, ta có:
\(\overline{AN}.\overline{AD}=\overline{AH}.\overline{AB}\) (do NHBD là tứ giác nội tiếp)
\(\overline{BN}.\overline{BC}=\overline{BH}.\overline{BA}=\overline{HB}.\overline{AB}\) (do CAHN là tứ giác nội tiếp)
Cộng theo vế ta được : \(\overline{AN}.\overline{AD}+\overline{BN}.\overline{BC}=\overline{AB}\left(\overline{AH}+\overline{HB}\right)=\overline{AB^2}=4R^2\)
