Cho đường tròn tâm O bán kính R với đường kính AB cố định và một đường kính CD thay đổi. Gọi M và N theo thứ tự là các trung điểm của CA, CB. Chứng minh rằng tổng bình phương các cạnh của tam giác MDN không đổi khi CD quay quanh O. Hãy tính giá trị không đổi đó.
\(3R^2\) \(4R^2\) \(5R^2\) \(6R^2\)Hướng dẫn giải:
MN là đường trung bình trong tam giác ACB : \(MN=\frac{1}{2}AB=R\)
Trong tam giác DAC, DM là trung tuyến nên \(DM^2=\frac{2\left(DA^2+DC^2\right)-AC^2}{4}\) (1)
Trong tam giác DCB, DN là trung tuyến nên \(DN^2=\frac{2\left(DB^2+DC^2\right)-CB^2}{4}\) (2)
Từ (1) và (2) suy ra
\(DM^2+DN^2=\frac{2\left(DA^2+DC^2\right)-AC^2+2\left(DB^2+DC^2\right)-CB^2}{4}\)
\(=\frac{2\left(DA^2+DB^2+2CD^2\right)-\left(AC^2+CB^2\right)}{4}\)
\(=\frac{2\left(AB^2+2CD^2\right)-AB^2}{4}=\frac{AB^2+4CD^2}{4}\)
\(=\frac{4R^2+16R^2}{4}=5R^2\)
Vậy \(DM^2+DN^2+MN^2=5R^2+R^2=6R^2\)
