Cho đường tròn tâm O bán kính R; P là một điểm cố định ở đường trong tròn . Một góc vuông \(\widehat{xPy}\) quay quanh P, hai tia Px, Py cắt đường tròn tại A và B. Gọi M, H lần lượt là các hình chiếu của O và P xuống AB. Hãy tính \(HP^2+HO^2\).
\(\frac{R^2}{2}\) \(\frac{2R^2}{3}\) \(R^2\) \(\frac{4R^2}{3}\)Hướng dẫn giải:
Gọi I là trung điểm đoạn OP, K là hình chiếu vuông góc của I xuống AB.
Áp dụng công thức tính trung tuyến tam giác ta có :
\(HP^2+HO^2=2HI^2+\dfrac{1}{2}OP^2\) (1)
\(MP^2+MO^2=2MI^2+\dfrac{1}{2}OP^2\) (2)
Từ (1) và (2) và chú ý rằng \(HI=MI\) và \(MP=MB\) suy ra
\(HP^2+HO^2=MP^2+MO^2=MB^2+MO^2=R^2\).
Vậy \(HP^2+HO^2=R^2\).
Chú ý: Trong bài toán trên, ta đã chứng tỏ được rằng khi góc vuông \(\widehat{xPy}\) quay quanh đỉnh P thì tổng
\(HP^2+HO^2\) không thay đổi.
