Sự biến thiên chu kỳ nhỏ của con lắc đơn

SỰ BIẾN THIÊN CHU KÌ NHỎ CỦA CON LẮC ĐƠN

1. Phương pháp gần đúng

- Một trong những câu nói yêu thích của người học vật lý là "nhỏ quá thì bỏ qua", thể hiện một sự mềm mại trong tư duy giải các bài toán vật lý. Điều đó có nghĩa là, khi tính toán mà gặp những giá trị nhỏ quá thì ta được phép bỏ đi để kết quả bài toán gọn gàng, đẹp hơn.

- Cơ sở của phương pháp: Với một giá trị \(x\) rất nhỏ (\(x<<\)) thì \(x^n\approx0\)(với \(n>1\))

   + Ví dụ: \(x=0,001\) thì \(x^2=0,000001\) \(\Rightarrow x+x^2=0,001001\), rõ ràng khi lấy gần đúng cho dù đến 5 chữ số phần thập phân thì \(x+x^2=0,001\)

   + Có nghĩa là:  \(x+x^2\approx x\)

- Một số kết quả áp dụng: (với điều kiện \(x<<\))

   + \(\left(1+x\right)^2=1+2x+x^2\approx1+2x\)

   + \(\left(1+x\right)^3=1+3x+3x^2+x^3\approx1+3x\)

   + Tổng quát: \(\boxed{(1+x)^n\approx1+n.x}\) [1]

   + \(\sin x\approx x\)

   + \(\tan x\approx x\)

   + \(e^x\approx1+x\)

2. Sự biến thiên chu kì nhỏ của con lắc đơn

- Chu kì của con lắc đơn: \(T=2\pi\sqrt{\dfrac{\ell}{g}}\) \(\Rightarrow T\) phụ thuộc vào chiều dài \(\ell\) và gia tốc trọng trường \(g\)

- Các yếu tố làm thay đổi \(\ell\) và \(g\)

   + Nhiệt độ môi trường: Khi nhiệt độ môi trường thay đổi \(\Delta t\) thì chiều dài thay đổi \(\Delta \ell = \ell_0.\alpha.\Delta t\)(\(\ell_0\) là chiều dài ban đầu)

   + Thay đổi độ cao: \(g=g_0\frac{R^2}{\left(R+h\right)^2}\), trong đó: \(g_0\)là gia tốc trọng trường ở mặt đất, \(R\) là bán kính trái đất, \(g\) là gia tốc trọng trường ở độ cao \(h\)

   + Thay đổi trực tiếp chiều dài \(\ell\) bằng cách tăng hoặc giảm một lượng \(\Delta \ell \ll\ell\)   

- Như vậy, bằng cách thay đổi nhiệt độ, hoặc độ cao thì chu kì \(T\) sẽ thay đổi theo (với một lượng rất nhỏ), tuy nhiên khi xét trong thời gian dài (như trong một ngày đêm) thì sự thay đổi này sẽ là đáng kể.

3. Bài toán về đồng hồ quả lắc

          

- Đồng hồ quả lắc, hay đồng hồ cơ hoạt động dựa trên năng lượng được cung cấp từ dây cót và được điều khiển bằng quả lắc đồng hồ. Quả lắc dao động nhanh thì đồng hồ chạy nhanh, và ngược lại.

- Bài toán: Do sự thay đổi độ cao, hoặc nhiệt độ làm cho chu kì của con lắc đồng hồ thay đổi. Ta phải tìm xem trong một ngày đêm thì đồng hồ sẽ chạy nhanh hay chậm bao nhiêu, hoặc phải điều chỉnh chiều dài con lắc như thế nào để đồng hồ chạy đúng giờ.

- Hướng dẫn giải:

   + Giả sử đồng hồ đang chạy đúng giờ ở trên mặt đất và ở nhiệt độ \(t\) nào đó

   + Chu kì chạy đúng giờ: \(T=2\pi\sqrt{\dfrac{\ell}{g}}\) 

   + Nếu chiều dài thay đổi thành \(\ell'=\ell+\Delta \ell\) 

• \(T'=2\pi\sqrt{\dfrac{\ell'}{g}}\)
• \(\frac{T'}{T}=\sqrt{\frac{\text{ℓ}'}{\text{ℓ}}}=\sqrt{\frac{\text{ℓ}+\Delta\text{ℓ}}{\text{ℓ}}}=\left(1+\frac{\Delta\text{ℓ}}{\text{ℓ}}\right)^{\frac{1}{2}}\)\(\simeq1+\frac{1}{2}\frac{\Delta\text{ℓ}}{\text{ℓ}}\)(áp dụng [1]) \(\Leftrightarrow\frac{T'}{T}-1=\frac{1}{2}\frac{\Delta\text{ℓ}}{\text{ℓ}}\)\(\boxed{\Leftrightarrow \Delta T=\dfrac{1}{2}.\dfrac{\Delta \ell}{\ell}.T}\)[2]
• Với chu kì đúng là T, ta cần số dao động mà đồng hồ thực hiện trong một ngày đêm là: \(\dfrac{24.3600}{T}\), mà mỗi dao động thì thời gian chạy sai là \(\Delta T\) (theo [2]). Do vậy, tổng thời gian đồng hồ chạy sai trong một ngày đêm là: \(\dfrac{24.3600}{T}.\dfrac{1}{2}.\dfrac{\Delta \ell}{\ell}.T=\dfrac{1}{2}.\dfrac{\Delta \ell}{\ell}.24.3600\) [3]

   + Áp dụng trường hợp chiều dài thay đổi do tăng nhiệt độ \(\Delta t\):

• \(\Delta\text{ℓ}=\text{ℓ}.\alpha.\Delta t\)\(\Rightarrow\frac{\Delta\text{ℓ}}{\text{ℓ}}=\alpha\Delta t\)
• Thế vào [3] ta có thời gian đồng hồ chạy chậm trong một ngày đêm là: \(\frac{1}{2}\alpha.\Delta t.24.3600\)
• Khi giảm nhiệt độ thì đồng hồ chạy nhanh như công thức trên.

   + Nếu gia tốc trọng trường thay đổi thành \(g'=g+\Delta g\)

• \(T'=2\pi\sqrt{\frac{\text{ℓ}}{g'}}\)
• \(\frac{T'}{T}=\sqrt{\frac{g}{g'}}=\sqrt{\frac{g}{g+\Delta g}}=\frac{1}{\sqrt{1+\frac{\Delta g}{g}}}=\left(1+\frac{\Delta g}{g}\right)^{-\frac{1}{2}}\)\(\simeq1-\frac{1}{2}\frac{\Delta g}{g}\)
• \(\Leftrightarrow\frac{\Delta T}{T}=-\frac{1}{2}\frac{\Delta g}{g}\)
• Tương tự lí luận ở trên, tổng thời gian đồng hồ chạy sai trong một ngày đêm là: \(-\frac{1}{2}\frac{\Delta g}{g}.24.3600\) [4](dấu '-' có nghĩa là khi g tăng thì đồng hồ chạy nhanh)

   + Áp dụng trong trường hợp thay đổi độ cao

• \(g'=g\frac{R^2}{\left(R+h\right)^2}\)\(\Rightarrow\frac{g'}{g}=\left(1+\frac{h}{R}\right)^{-2}\simeq1-\frac{2h}{R}\)\(\Rightarrow\frac{\Delta g}{g}=-\frac{2h}{R}\)
• Thế vào [4] ta được khi lên cao thì đồng hồ chạy chậm: \(\frac{h}{R}.24.3600\)

4. Kết luận

- Như vậy, chúng ta cần nhớ và áp dụng một số kết quả sau:

   + Khi chiều dài tăng \(\Delta\ell\) (rất nhỏ so với \(\ell\)) thì trong một ngày đêm đồng hồ chạy chậm \(\dfrac{1}{2}.\dfrac{\Delta \ell}{\ell}.24.3600\)

   + Khi nhiệt độ tăng \(\Delta t\) thì trong một ngày đêm đồng hồ chạy chậm \(\dfrac{1}{2}\alpha.\Delta t.24.3600\)  (\(\alpha\) là hệ số nở dài)

   + Khi gia tốc trọng trường tăng \(\Delta g\) thì trong một ngày đêm đồng hồ chạy nhanh \(\dfrac{1}{2}\dfrac{\Delta g}{g}.24.3600\) 

   + Khi lên cao \(h\) thì trong một ngày đêm đồng hồ chạy chậm: \(\dfrac{h}{R}.24.3600\) 

- Khi giảm chiều dài, giảm nhiệt độ, giảm gia tốc trọng trường thì kết quả ngược lại.

- Chúng ta không cần quan tâm bài toán đem con lắc xuống sâu dưới lòng đất.