Hệ có chứa một phường trình đẳng cấp (thuần nhất)

I. Nhận diện hệ phương trình có tính đẳng cấp:

       Hệ phương trình có chứa một phương trình đẳng cấp (bậc của các số hạng như nhau) dạng \(ax^2+bxy+cy^2=0\)

      Hoặc có thể cộng, trừ đại số để xuất hiện một phương trình đẳng cấp (làm cho hệ số tự do bằng 0)

II. Phương pháp giải:

    - Xét riêng trường hợp y = 0 để tìm x

    - Xét y khác 0, chia phương trình đẳng cấp cho y², đặt t = x/y, được phương trình chỉ chứa t, tìm được t thay vào x/y=t và kết hợp phương trình còn lại để tìm x và y

III. Các ví dụ:

1) Ví dụ1: Giải hệ pt: \(\begin{cases}x^2-2xy+3y^2=9\\2x^2-13xy+15y^2=0\end{cases}\)

Giải

     Ta thấy phương trình thứ hai của hệ là dạng đẳng cấp bậc 2.

     - Xét trường hợp y = 0, thay vào hệ ta có: \(\begin{cases}x^2=9\\2x^2=0\end{cases}\), không tồn tại x. 

     - Xét trường hợp y khác 0, chia cả hai vế phương trình thứ hai cho y², ta có:

           \(2\left(\frac{x}{y}\right)^2-13\frac{x}{y}+15=0\)

      Đặt t = x/y, thay vào ta có: \(2t^2-13t+15=0\), giải ra ta có t=5 hoặc t=3/2

     Với t = 5 => x = 5y, thay vào pt đầu của hệ ta được \(y^2=\frac{1}{2}\Rightarrow y=\pm\frac{\sqrt{2}}{2}\)  \(\Rightarrow x=\pm\frac{5\sqrt{2}}{2}\)

     Với t = 3/2 => x = 3/2 y, thay vào pt đầu ta được \(y^2=4\Rightarrow y=\pm2\); \(\Rightarrow x=\pm3\)

    Vậy các nghiệm của hệ là: \(\left(\frac{5\sqrt{2}}{2};\frac{\sqrt{2}}{2}\right);\left(\frac{-5\sqrt{2}}{2};\frac{-\sqrt{2}}{2}\right);\left(3;2\right);\left(-3;-2\right)\)

2) Ví dụ 2:

     Cho hệ pt: \(\begin{cases}3x^2+2xy+y^2=11\\x^2+2xy+3y^2=17+m\end{cases}\)

    a) Giai hệ khi m = 0

    b) Tìm m để hệ có nghiệm

Giải: Lấy pt thứ nhất nhân với 17 + m, phương trình thứ hai nhân với 11 thì ta được một phương trình đẳng cấp đối với x và y:

      \(\left(40+3m\right)x^2+2\left(6+m\right)xy+\left(m-16\right)y^2=0\)        (pt3)

  a) Với m = 0, giải tương tự ví dụ 1, từ (pt3) tìm được x/y = 1/2 hoặc x/y=-4/5, kết hợp với pt đầu của hệ ta tìm được 4 nghiệm là:

     \(\left(1,2\right);\left(-1,-2\right);\left(\frac{4\sqrt{3}}{3};\frac{-5\sqrt{3}}{3}\right);\left(\frac{-4\sqrt{3}}{3};\frac{5\sqrt{3}}{3}\right)\)

3) Ví dụ 3:

      Giải hệ: \(\begin{cases}x^3+y^3=1\\x^2y+2xy^2+y^3=2\end{cases}\)

    Lấy pt đầu nhân với 2, rồi trừ pt thứ hai cho pt thứ nhất ta được:

      \(x^2y+2xy^2+y^3-2\left(x^3+y^3\right)=0\)

   Hay là: \(-2x^3+x^2y+2xy^2-y^3=0\)    (*)

   pt (*) là đẳng cấp đối với x và y.

   Xet y = 0 thì pt thứ hai của hệ không thỏa mãn (vì 0 = 2)

   Với y khác 0, chia cả hai vế của (*) cho y³ và đặt t= x/y ta có:

             \(-2t^3+t^2+2t-1=0\)

    Hay là: \(-\left(2t-1\right)\left(t+1\right)\left(t-1\right)=0\) , Suy ra t = 1/2 hoặc t = 1 hoặc t = -1

   => x/y = 1/2 hoặc x/y = 1 hoặc x/y = -1

        Kết hợp với pt đầu của hệ, ta tìm được các nghiệm là:

         \(\left(\frac{1}{\sqrt[3]{2}};\frac{1}{\sqrt[3]{2}}\right);\left(\frac{\sqrt[3]{3}}{3};\frac{2\sqrt[3]{3}}{3}\right)\)

TÀI LIỆU THAM KHẢO

phương pháp giải hệ phương trình