Con lắc lò xo nằm ngang - năng lượng dao động điều hòa

CON LẮC LÒ XO NẰM NGANG - NĂNG LƯỢNG DAO ĐỘNG ĐIỀU HOÀ

1. Cấu tạo, hoạt động

- Cấu tạo: 

Gồm một lò xo có độ cứng k, khối lượng không đáng kể, 1 đầu giữa cố định, một đầu gắn vào vật có khối lượng m.

- Hoạt động:

• ​Ban đầu, vật đứng yên tại vị trí cân bằng (VTCB) O.
• Kích thích cho vật dao động theo phương ngang thì vật sẽ dao động lặp đi lặp lại nhiều lần quanh O.

2. Chứng minh dao động điều hòa

* Để chứng minh dao động của m quanh O là dao động điều hòa, ta sẽ sử dụng phương pháp động lực học.

- Trong quá trình dao động, xét tại thời điểm vật có li độ x, lực tác dụng lên vật gồm:

• ​Trọng lực: \(\overrightarrow{P}\)
• Phản lực: \(\overrightarrow{N}\)
• Lực đàn hồi: \(\overrightarrow{F_{dh}}\)

- Áp dụng định luật II Niu tơn ta có: \(m\overrightarrow{a} = \overrightarrow{P}+\overrightarrow{N}+\overrightarrow{F_{dh}}\)

- Chiếu lên trục tọa độ ta được: \(ma = -F_{dh} = -kx\) ^[1]

- Từ [1]  ta suy ra: \(a = -\frac{k}{m}x \), đặt \(\omega = \sqrt{\frac{k}{m}}\), ta được: \(a = -\omega^2.x\)^[2]

* Nhận thấy, biểu thức [2] chính là công thức liên hệ giữa gia tốc với li độ trong dao động điều hòa. Vậy vật m dao động điều hòa quanh VTCB O với tần số góc \(\omega = \sqrt{\frac{k}{m}}\)

• ​Chu kì dao động: \(T = \frac{2\pi}{\omega} = 2\pi\sqrt{\frac{m}{k}}\)
• Tần số dao động: \(f= \frac{1}{T}= \frac{1}{2\pi}\sqrt{\frac{m}{k}}\)

- Ví dụ: Bài tập ví dụ câu a, b, c ở mục 4

3. Năng lượng dao động

- Năng lượng của dao động ở đây chính là cơ năng của hệ mà chúng ta đã tìm hiểu trong chương trình vật lí 10, bao gồm động năng của vật và thế năng đàn hồi của lò xo.

- Động năng: \(W_đ=\frac{1}{2}mv^2\)

- Thế năng đàn hồi: \(W_t=\frac{1}{2}kx^2\)

- Cơ năng: \(W = W_đ+W_t= W_đ=\frac{1}{2}mv^2+\frac{1}{2}kx^2\)

- ​​Nhận xét: 

• ​Do bỏ qua ma sát và lực cản môi trường nên cơ năng bảo toàn, W = const.
• Như vậy, khi Wđ tăng thì Wt giảm và ngược lại.
• Do \(W_đ, W_t \geq 0 \) nên: \(W = W_{đmax}= W_{tmax} = \frac{1}{2}mv_{max}^2=\frac{1}{2}kA^2\)
• Ví dụ: Bài tập ví dụ câu d, e, f ở mục 4

4. Bài tập ví dụ

Đề bài: Một con lắc lò xo nằm ngang gồm vật nặng khối lượng m = 100g, lò xo có độ cứng k = 100 N/m. Lấy \(\pi^2 = 10\), g = 10m/s². Người ta kích thích cho vật dao động điều hòa quanh VTCB với biên độ A = 4cm. Chọn mốc tính thời gian lúc vật qua VTCB theo chiều dương.

a) Tính chu kì dao động và số dao động mà vật thực hiện trong 1 phút.

b) Viết phương trình dao động.

c) Tìm vận tốc và gia tốc khi vật qua li độ x = 2cm.

d) Tìm năng lượng của dao động

e) Khi vật đi qua vị trí có li độ x = 3cm, tính động năng và thế năng.

f) Tìm li độ của vật tại vị trí Wđ = Wt

Lời giải:

a) Tần số góc: \(\omega = \sqrt{\frac{k}{m}} = \sqrt{\frac{100}{0,1}}=10\sqrt{10} = 10\pi\)(rad/s)

Chu kì dao động: \(T = \frac{2\pi}{\omega}=\frac{2\pi}{10\pi}=0,2\)(s)

Tần số dao động: \(f=\frac{1}{T} = \frac{1}{0,2}=5\)(Hz)

Vì tần số là số dao động trong 1 giây, nên số dao động trong 1 phút vật thực hiện là: 5.60 = 300 (dao động)

b) Phương trình tổng quát: \(x=A\cos(\omega t + \varphi)\) 

+ A = 4 (cm)

+ \(\omega = 10\pi\) (rad/s)

+ t = 0 khi vật qua VTCB theo chiều dương nên \(\varphi = -\frac{\pi}{2}\)

Vậy PT dao động: \(x= 4\cos(10\pi t - \frac{\pi}{2})\)(cm)

c) Khi vật qua li độ x = 2cm.

+ Áp dụng: \(A^2 = x^2 + \frac{v^2}{\omega^2}\Rightarrow v = \pm\omega\sqrt{A^2-x^2} = \pm 10\pi\sqrt{4^2 - 2^2} = \pm 20\sqrt 3\pi\)(cm/s)

+ Áp dụng: \(a = -\omega^2x \Rightarrow a = -(10\pi)^2.2 = 2000\)(cm/s2) = 2(m/s2)

d) Năng lượng dao động: \(W = W_{tmax} = \frac{1}{2}kA^2=\frac{1}{2}100 . 0,04^2 = 0,08\)(J)

e) Khi vật qua li độ x = 3cm.

+ Thế năng: \(W_t = \frac{1}{2}kx^2=\frac{1}{2}100 . 0,03^2 = 0,045\)(J)

+ Động năng: \(W_đ = W - W_t = 0,08 - 0,045 = 0,035\)(J)

f) Tại vị trí Wđ = Wt \(\Rightarrow W = W_đ+W_t = 2W_t \Rightarrow \frac{1}{2}kA^2 = 2.\frac{1}{2} k x^2 \Rightarrow x = \pm\frac{A}{\sqrt 2} = \pm 2\sqrt 2\)(cm)