Bài 3. Hằng đẳng thức đáng nhớ

Bài 3: Hằng đẳng thức đáng nhớ

I. Hằng đẳng thức

            Nếu hai biểu thức A và B nhận giá trị như nhau với mọi giá trị của biến thì ta nói A = B là một đồng nhất thức hay là một hằng đẳng thức.

Ví dụ: a + b = b + a ; (a + c)b = ab + bc là những hằng đẳng thức.

           a³ + 2 = 10a ; b(b + 5) = 12b không phải là những hằng đẳng thức.

II. Những hằng đẳng thức đáng nhớ

           Trong toán học sơ cấp, bảy hằng đẳng thức đáng nhớ là những đẳng thức cơ bản nhất mà mỗi người học toán cần phải nắm vững. Các đẳng thức được chứng minh bằng phép nhân đa thức với đa thức. Các hằng đẳng thức này nằm trong nhóm các hàng đẳng thức đại số cơ bản, bên cạnh nhiều hàng đẳng thức khác.

1. Bình phương của một tổng

                                  \(\left(a+b\right)^2=a^2+2ab+b^2\)

2. Bình phương của một hiệu

                                  \(\left(a-b\right)^2=a^2-2ab+b^2\)

3. Hiệu hai bình phương

                                   \(a^2-b^2=\left(a-b\right)\left(a+b\right)\)

4. Lập phương của một tổng

                                  \(\left(a+b\right)^3=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3\)

5. Lập phương của một hiệu

                                  \(\left(a-b\right)^3=a^3-3a^2b+3ab^2-b^3\)

6. Tổng hai lập phương

                                   \(a^3+b^3=\left(a+b\right)\left(a^2-ab+b^2\right)\)

7. Hiệu hai lập phương

                                   \(a^3-b^3=\left(a-b\right)\left(a^2+ab+b^2\right)\)

III. Các hằng đẳng thức mở rộng

1. \(\left(a+b+c\right)^3=a^3+b^3+c^3+3\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)\)
2. \(a^3+b^3+c^3-3abc=\left(a+b+c\right)\left(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca\right)\)
3. \(\left(a+b+c\right)^2=a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ca\)
4. \(\left(a-b-c\right)^2=a^2+b^2+c^2-2ab+2bc-2ca\)
5. \(\left(a+b-c\right)^2=a^2+b^2+c^2+2ab-2bc-2ca\)