I. Cộng hai đa thức nhiều biến

Nhận xét: Để cộng hai đa thức theo hàng ngang, ta có thể làm như sau:

+ Viết tổng hai đa thức theo hàng ngang;

+ Nhóm các đơn thức đồng dạng với nhau;

+ Thực hiện phép tính trong từng nhóm, ta được tổng cần tìm.

Ví dụ 1: Tính tổng của hai đa thức \(A=x^2+3x^2y+4y\) và \(B=x^2-3x^2y+y\).

Hướng dẫn giải

\(A+B=(x^2+3x^2y+4y)+(x^2-3x^2y+y)\\ =x^2+3x^2y+4y+x^2-3x^2+y\\ =(x^2+x^2)+(3x^2y-3x^2y)+(4y+y)\\ =2x^2+5y.\)

II. Trừ hai đa thức nhiều biến

Nhận xét: Để trừ đa thức P cho đa thức Q theo hàng ngang, ta có thể làm như sau:

+ Viết hiệu P - Q theo hàng ngang, trong đó đa thức Q được đặt trong dấu ngoặc;

+ Sau khi bỏ dấu ngoặc và đổi dấu mỗi đơn thức của đa thức Q, nhóm các đơn thức đồng dạng với nhau;

+ Thực hiện phép tính trong từng nhóm, ta được hiệu cần tìm.

Ví dụ 2: Tính hiệu của hai đa thức \(A=x^2+3x^2y+4y\) và \(B=x^2-3x^2y+y\).

Hướng dẫn giải

\(A-B=(x^2+3x^2y+4y)-(x^2-3x^2y+y)\\ =x^2+3x^2y+4y-x^2+3x^2y-y\\ =(x^2-x^2)+(3x^2y+3x^2y)+(4y-y)\\ =6x^2y+3y.\)

III. Nhân hai đa thức nhiều biến

1. Nhân hai đơn thức

Nhận xét: Tương tự đối với đơn thức một biến, để nhân hai đơn thức nhiều biến ta có thể làm như sau:

+ Nhân các hệ số với nhau và nhân các phần biến với nhau;

+ Thu gọn đơn thức nhận được ở tích.

Ví dụ 3: Tính \(3x^2y^2.\dfrac{1}{3}xy^2\).

Hướng dẫn giải

\(3x^2y^2.\dfrac{1}{3}xy^2=\Big(3.\dfrac{1}{3}\Big)(x^2.x)(y^2.y^2)=x^3y^4.\)

2. Nhân đơn thức với đa thức

Muốn nhân một đơn thức với một đa thức, ta nhân đơn thức đó với từng đơn thức của đa thức rồi cộng các kết quả với nhau.

Ví dụ 4: Tính tích \(2x(x^2+3xy+y^2)\).

Hướng dẫn giải

\(2x(x^2+3xy+y^2)=2x.x^2+2x.3xy+2x.y^2=2x^3+6x^2y+2xy^2.\)

3. Nhân hai đa thức

Muốn nhân một đa thức với một đa thức, ta nhân mỗi đơn thức của đa thức ngày với từng đơn thức của đa thức kia rồi cộng các kết quả với nhau.

Ví dụ 5: Tính \((x-y)(x+y)\).

Hướng dẫn giải

\((x-y)(x+y)=x^2+xy-xy-y^2=x^2+(xy-xy)-y^2=x^2-y^2.\)

IV. Chia đa thức cho đơn thức

1. Phép chia hết một đơn thức cho một đơn thức

Tương tự như trường hợp một biến, ta nói đơn thức nhiều biến A là chia hết cho đơn thức nhiều biến B \((B\ne0)\) nếu tìm được đơn thức Q sao cho A = B.Q.

Nhận xét: Đơn thức A chia hết cho đơn thức B \((B\ne0)\) khi mỗi biến của B đều là biến của A với số mũ không lớn hơn số mũ của nó trong A.

Quy tắc: Muốn chia đơn thức A cho đơn thức B (trường hợp A chia hết cho B), ta có thể làm như sau:

+ Chia hệ số của đơn thức  A cho hệ số của đơn thức B;

+ Chia lũy thừa của từng biến trong A cho lũy thừa của cùng biến đó trong B;

+ Nhân các kết quả vừa tìm được với nhau.

Ví dụ 6: Cho đơn thức \(A=5x^2yz^3\) và đơn thức \(B=x^2yz\).

a) Giải thích vì sao đơn thức A chia hết cho đơn thức B?

b) Hãy tìm thương của phép chia A cho B.

Hướng dẫn giải

a) Đơn thức A chia hết cho đơn thức B vì lũy thừa của các biến x, y và z trong B đều không lớn hơn lũy thừa của các biến x, y và z trong A.

b) \(A:B=5x^2yz^3:x^2yz=(5:1).(x^2:x^2).(y:y).(z^3:z)=5z^2\).

2. Phép chia hết một đa thức cho một đơn thức

Nhận xét: Đa thức A chia hết cho đơn thức B \((B\ne0)\) khi mỗi đơn thức của A chia hết cho B.

Quy tắc: Muốn chia đa thức A cho đơn thức B (trường hợp A chia hết cho B), ta chia mỗi đơn thức của A cho B rồi cộng các kết quả với nhau.

Ví dụ 7: Tìm thương của \(4x^2y^2+8x^2y+10xy\) cho đơn thức \(2xy\).

Hướng dẫn giải

\((4x^2y^2+8x^2y+10xy):2xy\\=4x^2y^2:2xy+8x^2y:2xy+10xy:2xy\\=2xy+4x+5.\)