I. Hằng đẳng thức

Nếu hai biểu thức P và Q nhận giá trị như nhau với mọi giá trị của biến thì ta nói P = Q là một đồng nhất thức hay là một hằng đẳng thức.

Ví dụ 1: 

 Đẳng thức 2(x + 1) = 2x + 2 là một hằng đẳng thức.

Đẳng thức 3x(x + 1) = 3x² + 3 không là hằng đẳng thức vì nếu thay x = 2 vào đẳng thức thì hai vế của đẳng thức có kết quả khác nhau.

II. Hằng đẳng thức đáng nhớ

1. Bình phương của một tổng, một hiệu

Với hai biểu thức A, B tùy ý, ta có

              \((A+B)^2=A^2+2AB+B^2\);

                \((A-B)^2=A^2-2AB+B^2\).

Ví dụ 2: Tính 

a) \((2x-y)^2\);             b) \((x+2)^2\).

Hướng dẫn giải

a) \((2x-y)^2=(2x)^2-2.2x.y+y^2=4x^2-4xy+y^2\).

b) \((x+2)^2=x^2+2.x.2+2^2=x^2+4x+4\).

Ví dụ 3: Viết mỗi biểu thức sau dưới dạng bình phương của một tổng hoặc một hiệu

a) \(x^2+2x+1\);         b) \(4a^2+4b^2-8ab\).

Hướng dẫn giải

a) \(x^2+2x+1=x^2+2.x.1+1^2=(x+1)^2\).

b)

 \(4a^2+4b^2-8ab=4a^2-8ab+4b^2\\=(2a)^2-2.2a.2b+(2b)^2=(2a-2b)^2.\)

Ví dụ 4: Tính nhanh \(999^2\).

Hướng dẫn giải 

999² = (1 000 - 1)² = 1 000² - 2.1 000.1 + 1² 

                               = 1 000 000 - 2 000 + 1 = 997 999.

2. Hiệu hai bình phương

Với hai biểu thức A và B tùy ý, ta có   

              \(A^2-B^2=(A-B)(A+B)\)

Ví dụ 5: 

a) Tính \(x^2-4\).

b) Tính \((2a-5)(2b+5)\).

c) Tính nhanh 54.66.

Hướng dẫn giải

a) \(x^2-4=x^2-2^2=(x-2)(x+2)\).

b) \((2a-5)(2b+5)=(2a)^2-5^2=4a^2-25\).

c) 54.66 = (60 - 6)(60 + 6) = 60² - 6² = 3 600 - 36 = 3 564.

3. Lập phương của một tổng, một hiệu

Với hai biểu thức A và B tùy ý ta có 

\((A+B)^3=A^3+3A^2B+3AB^2+B^3\);

\((A-B)^3=A^3-3A^2B+3AB^2-B^3\).

Ví dụ 6: 

a) Tính \((x+2)^3\).

b) Viết biểu thức \(x^3-6x^2+12x-8\) dưới dạng lập phương của một hiệu.

c) Tính nhanh \(101^3-3.101^2.1+3.101.1^2-1^3\).

Hướng dẫn giải

a) \((x+2)^3=x^2+3.x^2.2+3.x.2^2+2^3=x^3+6x^2+12x+8.\)

b) \(x^3-6x^2+12x-8=x^3-3.x^2.2+3.x.2^2-2^3=(x-2)^3\).

c)

 \(101^3-3.101^2.1+3.101.1^2-1^3\\=(101-1)^3=100^3\) 

     = 10 000.

4. Tổng, hiệu hai lập phương

Với hai biểu thức A và B tùy ý, ta có 

\(A^3+B^3=(A+B)(A^2-AB+B^2)\);

\(A^3-B^3=(A-B)(A^2+AB+B^2)\).

Ví dụ 7: 

a) Viết biểu thức \(x^3-8\) dưới dạng tích.

b) Tính nhanh \((0,82)^3+(0,18)^3+3.0,82.0,18\).

Hướng dẫn giải

a)

 \(x^3-8=x^3-2^3\\ =(x-2)(x^2+x.2+2^2)=(x-2)(x^2+2x+4).\)

b) \((0,82)^3+(0,18)^3+3.0,82.0,18\\ =(0,82+0,18)[(0,82)^2-0,82.0,18+(0,18)^2]+3.0,82.0,18\\ =(0,82)^2-0,82.0,18+(0,18)^2+3.0,82.0,18\\ =(0,82)^2+2.0,82.0,18+(0,18)^2\\=(0,82+0,18)^2\)\(=1^2=1.\)