Bài 2: Hình thang

1. Định nghĩa

Ở bài học trước, ta đã học định nghĩa tứ giác. Kể từ bài học này, ta sẽ nghiên cứu các loại tứ giác đặc biệt. Trường hợp đầu tiên, đơn giản nhất là Hình thang.

Định nghĩa: Hình thang là tứ giác có hai cạnh đối song song.

Trong hình trên, ta có hình thang \(ABCD\) (\(AB\)//\(CD\)). Khi đó:

• Các đoạn thẳng \(AB,CD\) gọi là các cạnh đáy.
• Các đoạn thẳng \(AD,BC\) gọi là các cạnh bên.
• Với các hình thang có hai đáy không bằng nhau, ta còn phân biệt đáy lớn và đáy nhỏ. Trong trường hợp này, \(AB\) là đáy nhỏ, \(CD\) là đáy lớn.
• Gọi \(AH\) là đường vuông góc kẻ từ \(A\) đến đường thẳng \(CD\). Đoạn thẳng \(AH\) gọi là một đường cao của hình thang \(ABCD\). 

Trong hình thang \(ABCD\) với hai đáy \(AB\)//\(CD\), ta có: 

\(\widehat{A}+\widehat{D}=180^0;\widehat{B}+\widehat{C}=180^0\) (hai góc trong cùng phía).

Tính chất này đúng với bất kì hình thang nào với hai đáy \(AB\), \(CD\). Ta có nhận xét sau:

Nhận xét: Hai góc kề một cạnh bên của hình thang luôn bù nhau.

Bây giờ, ta xét một số trường hợp đặc biệt sau:

a) Hình thang \(ABCD\) có hai đáy \(AB\)//\(CD\). Giả sử \(AD\)//\(BC\):

Kẻ đường chéo \(AC\). Ta có: 

• \(\widehat{BAC}=\widehat{ACD}\) (so le trong)
• \(AC\) chung
• \(\widehat{BCA}=\widehat{DAC}\) (so le trong) 

\(\Rightarrow\Delta ABC=\Delta CDA\) (góc - cạnh - góc) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}AB=CD\\BC=AD\end{matrix}\right.\).

b) Hình thang \(ABCD\) có hai đáy \(AB\)//\(CD\). Giả sử \(AB=CD\):

Kẻ đường chéo ​\(AC\). Ta có: 

• \(AB=CD\) (giả thiết)
• \(\widehat{BAC}=\widehat{ACD}\) (so le trong)
• \(AC\) chung

\(\Rightarrow\Delta ABC=\Delta CDA\) (cạnh - góc - cạnh) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}AD=BC\\\widehat{DAC}=\widehat{BCA}\end{matrix}\right.\)

Mà hai góc \(DAC,BCA\) so le trong \(\Rightarrow AD\)//\(BC\).

 Các kết quả trên không phụ thuộc vào cách chọn hình thang \(ABCD\). Ta có nhận xét sau:

​Nhận xét:​

• Nếu một hình thang có hai cạnh bên song song thì hai cạnh bên bằng nhau, hai cạnh đáy bằng nhau.
• Nếu một hình thang có hai cạnh đáy bằng nhau thì hai cạnh bên song song và bằng nhau.

Tổng kết: Muốn chứng minh một tứ giác là hình thang, ta cần chứng minh tứ giác đó có hai cạnh đối song song với nhau.

Ví dụ: Cho tứ giác \(ABCD\) có \(BC=CD\) và \(DB\) là tia phân giác của góc \(D\). Chứng minh \(ABCD\) là hình thang.

Lời giải:

Ta có \(BC=CD\) \(\Rightarrow\Delta BCD\) cân tại \(C\) \(\Rightarrow\widehat{CBD}=\widehat{CDB}\).

Do \(DB\) là phân giác góc \(D\) \(\Rightarrow\widehat{CDB}=\widehat{BDA}\)

\(\Rightarrow\widehat{CBD}=\widehat{BDA}\) Mà hai góc này so le trong với nhau 

\(\Rightarrow BC\)//\(AD\) \(\Rightarrow ABCD\) là hình thang với hai đáy \(BC,AD\).

2. Hình thang vuông

Định nghĩa: Hình thang vuông là hình thang có một góc vuông.

Trong hình trên, hình thang \(ABCD\) có \(AB\)//\(CD\), \(\widehat{A}=90^0\) nên ta cũng có \(\widehat{D}=90^0\). Như vậy, \(ABCD\) là một hình thang vuông.