Bài 1: Sự đồng biến và nghịch biến của hàm số

A. Kiến Thức Cần Nhớ

Định nghĩa 1: Cho K là một khoảng, một đoạn hoặc một nửa khoảng và \(f\) là hàm số xác định trên K.

• Hàm số \(f\) gọi là đồng biến (hay tăng) trên K nếu ∀\(x_1,x_2\in K,\), \(x_1\) < \(x_2\) ⇒ \(f\left(x_1\right)\) < \(f\left(x_2\right)\)

• Hàm số \(f\) gọi là nghịch biến (hay giảm) trên K nếu ∀\(x_1,x_2\in K,\),  \(x_1\) < \(x_2\) ⇒ \(f\left(x_1\right)\) > \(f\left(x_2\right)\)

• Nếu một hàm số đồng biến trên K thì trên đó, đồ thị của nó đi lên;

• Nếu một hàm số nghịch biến trên K thì trên đó, đồ thị của nó đi xuống.

Định lý 1 : Cho hàm số y = \(f\left(x\right)\)) có đạo hàm trên khoảng I.

• Nếu \(f'\left(x\right)\) > 0, ∀x ∈ I thì y = \(f\left(x\right)\) đồng biến trên I;

• Nếu \(f'\left(x\right)\) < 0, ∀x ∈ I thì y = \(f\left(x\right)\) nghịch biến trên I;

• Nếu \(f'\left(x\right)\) = 0, ∀x ∈ I thì y = \(f\left(x\right)\) không đổi trên I.

Lưu ý.

• Nếu \(f'\left(x\right)\) $\geq $ 0 , ∀x ∈ I và \(f'\left(x\right)\)= 0 tại hữu hạn điểm của I thì y = \(f\left(x\right)\) đồng biến trên I.

• Khoảng I ở trên có thể được thay bởi một đoạn hoặc nửa khoảng với giả thiết bổ sung : "Hàm số y = \(f\left(x\right)\) liên tục trên đoạn hoặc nửa khoảng đó"

B. Kỹ Năng Cơ Bản

1. Tìm các khoảng đơn điệu của hàm số.

• Tìm tập xác định.
• Tính y'. Tìm các điểm tại đó y' bằng 0 hoặc không xác định.
•  Lập bảng biến thiên. Từ bảng biến thiên rút ra kết luận.

2. Điều kiện để hàm số luôn đồng biến, nghịch biến.

• Tìm tập xác định \(D_f\) .

• Tính y' và chỉ ra \(y'\ge0\), ∀x ∈ \(D_f\) (hoặc \(y'\le0\), ∀x ∈ \(D_f\) ). 

C. Các dạng bài tập :

Dạng 1 :

Ví dụ 1 : Xét tính đơn điệu của hàm số :

\(y=\frac{x^3}{3}-x^2-3x+2\)

Bài giải :

Tập xác định : \(D=R\)

Ta có : \(y'=x^2-2x-3,y'=0\Leftrightarrow x^2-2x-3=0\Leftrightarrow x=-1;x=3\)

Lập bảng biến thiên :

Hàm số đồng biến trên mỗi khoảng \(\left(-\infty;-1\right)\) và \(\left(3;+\infty\right)\), nghịch biến trên \(\left(-1;3\right)\)

Ví dụ 2 : Chứng minh rằng hàm số \(f\left(x\right)=x+\cos^2x\) đồng biến trên R

Bài giải :

Tập xác định \(D=R\)

Ta có \(f'\left(x\right)=1-\sin2x;f'\left(x\right)=0\Leftrightarrow\sin2x=1\Leftrightarrow x=\frac{\pi}{4}+k\pi,k\in Z\)

Cách 1 : Hàm số \(f\) liên tục trên mỗi đoạn \(\left[\frac{\pi}{4}+k\pi;\frac{\pi}{4}+\left(k+1\right)\pi\right]\) và có đạo hàm \(f'\left(x\right)>0\) với mọi \(x\in\left[\frac{\pi}{4}+k\pi;\frac{\pi}{4}+\left(k+1\right)\pi\right],k\in Z\)

Do đó hàm đồng biến trên mỗi đoạn \(x\in\left[\frac{\pi}{4}+k\pi;\frac{\pi}{4}+\left(k+1\right)\pi\right],k\in Z\)

Vậy hàm đồng biến trên R

Cách 2 : Vì \(f'\left(x\right)=0\) tại vô hạn điểm nên ta chưa kết luận được tính đơn điệu của hàm số 

Ta chứng minh hàm số nghịch biến theo định nghĩa.

Với mọi \(x_1,x_2\in R,x_1\)<\(x_2\) khi đó sẽ tồn tại khoảng (a,b) chứa \(x_1,x_2\) ( chẳng hạn khoảng \(\left(x_1-1,x_2+1\right)\))

Ta có \(f'\left(x\right)\ge0,\)với mọi \(x\in\left(a,b\right)\) và \(f'\left(x\right)=0\) có hữu hạn nghiệm trên (a,b). Do đó, hàm số đồng biến trên (a,b) suy ra \(f\left(x_1\right)>f\left(x_2\right)\)

Ta đã chứng minh được mọi \(x_1,x_2\in R\) mà \(x_1\) <\(x_2\) thì \(f\left(x_1\right)>f\left(x_2\right)\)

Hay hàm số đã cho đồng biến trên R

Ví dụ 3 : Tìm m để hàm số : \(y=x^3-3mx^2+3\left(2m+3\right)x+1\) nghịch biến trong khoảng \(\left(-\frac{1}{2};\frac{1}{2}\right)\)

Bài giải :

Tập xác định R

Ta có \(y'=3x^2-6mx+3\left(2m-1\right)=3\left[x^2-2mx+\left(2m+3\right)\right]\)

Hàm số nghịch biến trong khoảng \(\left(-\frac{1}{2};\frac{1}{2}\right)\) khi và chỉ khi \(y'\le0\), mọi \(x\in\left(-\frac{1}{2};\frac{1}{2}\right)\)

hay \(f\left(x\right)=x^2-2mx+\left(2m+3\right)\le0\left(1\right)\)mọi \(x\in\left(-\frac{1}{2};\frac{1}{2}\right)\)

Cách 1 : Ta có (1) \(\Leftrightarrow2m\left(x-1\right)\ge x^2+3\Leftrightarrow m\le\frac{x^2+3}{2x-2}\) với mọi \(x\in\left(-\frac{1}{2};\frac{1}{2}\right)\)

Xét hàm số \(g\left(x\right)=\frac{x^2+3}{2x-2}\)\(x\in\left(-\frac{1}{2};\frac{1}{2}\right)\)

                    \(g'\left(x\right)=\frac{2x\left(2x-2\right)-2\left(x^2+3\right)}{\left(2x-2\right)^2}=\frac{\left(x+1\right)\left(2x-6\right)}{\left(2x-2\right)^2}<0\) với mọi \(x\in\left(-\frac{1}{2};\frac{1}{2}\right)\)

Bảng biến thiên : 

Từ bảng biến thiên suy ra \(m\le-\frac{13}{4}\) là giá trị cần tìm

Cách 2 :

Dễ thất nếu \(f\left(x\right)=0\) vô nghiệm hoặc có nghiệm kéo thì \(f\left(x\right)\ge0\) với mọi x, khi đó không có giá trị nào m thỏa mãn

Phương trình \(f\left(x\right)=0\) có hai nghiệm phân biệt \(x_1,x_2\)

\(x_1,x_2,\) (\(x_1\)<\(x_2\))\(\Leftrightarrow\Delta'>0\Leftrightarrow m^2-2m-2>0\) \(\Leftrightarrow m>3\) hoặc \(m<-1\)

Khi đó \(f\left(x\right)\le0\), với mọi \(x\in\left(-\frac{1}{2};\frac{1}{2}\right)\)\(\Leftrightarrow\left(-\frac{1}{2};\frac{1}{2}\right)\subset\left[x_1;x_2\right]\Leftrightarrow x_1\le-\frac{1}{2}\)<\(\frac{1}{2}\le x_2\)