a) Đúng

b) \(f\left(x\right)\) nghịch biến trên \(\left(1;+\infty\right)\Rightarrow f\left(x\right)\) nghịch biến trên \(\left[4;10\right]\Rightarrow\max\limits_{x\in\left[4;10\right]}=f\left(4\right)\)

\(\Rightarrow\) Sai

c) \(TCĐ:x=1\Rightarrow x-1=x+b\Rightarrow b=-1\)

\(TCN:y=2\Rightarrow\lim\limits_{x\rightarrow\infty}f\left(x\right)=\lim\limits_{x\rightarrow\infty}\dfrac{ax+1}{x-1}=2\Rightarrow a=2\)

\(\Leftrightarrow a+b=2-1=1\)

\(\Rightarrow\) Sai

d) \(y=\dfrac{2x-1}{x-1}\left(C\right);y=-x+m\left(d\right)\)

Phương trình hoành độ giao điểm của \(\left(C\right)\&\left(d\right):\)

\(\dfrac{2x-1}{x-1}=-x+m\)

\(\Leftrightarrow2x-1=-x^2+mx+x-m\left(x\ne1\right)\)

\(\Leftrightarrow x^2-\left(m-1\right)x+m-1=0\left(1\right)\)

\(\left(C\right)\cap\left(d\right)\) tại 2 điểm phân biệt \(A;B\) \(\Leftrightarrow\)\(\left(1\right)\) có \(2\) nghiệm phân biệt \(x_A;x_B\) khi và chỉ khi

\(\Leftrightarrow\Delta=\left(m-1\right)^2-4\left(m-1\right)=\left(m-1\right)\left(m-5\right)>0\)

\(\Leftrightarrow m< 1\cup m>5\left(2\right)\)

Khi đó \(x_B-x_A=\dfrac{\sqrt{\Delta}}{a}=\dfrac{\sqrt{\left(m-1\right)\left(m-5\right)}}{1}=\sqrt{m^2-6m+5}\)

\(y_B-y_A=-x_B+m+x_A-m=x_A-x_B=\sqrt{\Delta}=\sqrt{m^2-6m+6}\)

\(AB=\sqrt{\left(x_B-x_A\right)^2+\left(y_B-y_A\right)^2}=\sqrt{10}\)

\(\Leftrightarrow\sqrt{\Delta+\Delta}=\sqrt{10}\)

\(\Leftrightarrow2\Delta=10\)

\(\Leftrightarrow m^2-6m+5=5\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}m=0\\m=6\end{matrix}\right.\) thỏa mãn \(\left(2\right)\)

\(\Rightarrow\) Có \(\left(2\right)\) giá trị \(m\) thỏa mãn đề bài

\(\Rightarrow\) Đúng

\(y=0\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=1\\g\left(x\right)=x^2+2mx+1=0\end{matrix}\right.\) có \(3\) nghiệm phân biệt ( \(2\) điểm cực trị nằm khác phía với trục hoành)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\Delta'_g=0\\g\left(1\right)\ne0\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}m^2-1>0\\2m+2\ne0\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow m< -1\cup m>1\)

mà \(m\in\left[-16;16\right]\)

\(\Rightarrow m\in[-16;-1)\cup m\in(1;16]\)

\(\Rightarrow m\in\left\{-16;-15;...-2;2;3;...16\right\}\) \(\left(m\in Z\right)\)

\(\Rightarrow\) Tổng số giá trị \(m\) là \(2\left(16-2+1\right)=30\)

a) \(f'\left(x\right)=\dfrac{-2}{\left(x+1\right)^2}< 0,\forall x\ne-1\)

\(\Rightarrow f\left(x\right)\) nghịch biến trên \(D=R\backslash\left\{-1\right\}\)

\(\Rightarrow\) Sai

b) \(f\left(x\right)\) nghịch biến trên \(\left[1;2\right]\)

\(\Rightarrow f\left(x\right)_{min}=f\left(2\right)=\dfrac{2.2+4}{2+1}=\dfrac{8}{3}\)

\(\Rightarrow\) Sai

c) \(\lim\limits_{x\rightarrow-1}f\left(x\right)=\infty\Rightarrow TCĐ:x=-1\)

\(\lim\limits_{x\rightarrow\infty}f\left(x\right)=2\Rightarrow TCN:y=2\)

\(\Rightarrow\) Đúng

d) Phương trình hoành độ giao điểm của \(\left(C\right)\&\left(d\right):\)

\(\dfrac{2x+4}{x+1}=2x+m\)

\(\Leftrightarrow2x+4=2x^2+2x+mx+m\left(x\ne-1\right)\)

\(\Leftrightarrow2x^2+mx+m-4=0\left(1\right)\)

\(\Delta=m^2-8\left(m-4\right)=m^2-8m+32=\left(m-4\right)^2+16>0,\forall m\in R\)

\(\Rightarrow\left(1\right)\) có 2 nghiệm phân biệt

\(\Rightarrow\left(C\right)\cap\left(d\right)\) tại 2 điểm phân biệt \(A;B,\forall m\in R\)

\(\Rightarrow\) Đúng