Đại số lớp 8

Ta có:x⁴-x+1=(x⁴-x²+\(\dfrac{1}{4}\))+(x²-x+\(\dfrac{1}{4}\))+\(\dfrac{1}{2}\)=\(\left(x^2-\dfrac{1}{2}\right)^2+\left(x-\dfrac{1}{2}\right)^2+\dfrac{1}{2}\)

Do \(\left(x^2-\dfrac{1}{2}\right)\ge0\forall x\in R\)

\(\left(x-\dfrac{1}{2}\right)^2\ge0\forall x\in R\)

=>\(\left(x^2-\dfrac{1}{2}\right)^2+\left(x-\dfrac{1}{2}\right)^2\ge0\forall x\in R\)

=>\(x^4-x+1=\left(x^2-\dfrac{1}{2}\right)^2+\left(x-\dfrac{1}{2}\right)^2+\dfrac{1}{2}\ge\dfrac{1}{2}>0\forall x\in R\)(đpcm)

Vì x^4 có số mũ là chẵn nên cho dù x là mấy thì x^4-x+1 luôn dương với mọi x .

mk ko giải nhưng mình định hướng thôi .

\(\frac{x^4+x^3+6x^2+5x+5}{x^2+x+1}=\frac{x^4+x^3+x^2+5x^2+5x+5}{x^2+x+1}=\frac{x^2\left(x^2+x+1\right)+5\left(x^2+x+1\right)}{\left(x^2+x+1\right)}=\frac{\left(x^2+x+1\right)\left(x^2+5\right)}{x^2+x+1}=x^2+5\)

\(\frac{x^4+x^3+2x^2+x+1}{x^2+x+1}=\frac{x^4+x^3+x^2+x^2+x+1}{x^2+x+1}=\frac{x^2\left(x^2+x+1\right)+\left(x^2+x+1\right)}{x^2+x+1}=\frac{\left(x^2+x+1\right)\left(x^2+1\right)}{x^2+x+1}=x^2+1\)

Chứng minh \(x^2+y^2+z^2\ge xy+yz+xz\), Dấu "=" khi \(x=y=z\)

\(bdt\Leftrightarrow2x^2+2y^2+2z^2\ge2xy+2yz+2xz\)

\(\Leftrightarrow2x^2+2y^2+2z^2-2xy-2yz-2xz\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(x-y\right)^2+\left(y-z\right)^2+\left(z-x\right)^2\ge0\forall x,y,z\in R\)

Dấu "=" khi \(\begin{cases}\left(x-y\right)^2=0\\\left(y-z\right)^2=0\\\left(z-x\right)^2=0\end{cases}\)\(\Leftrightarrow\begin{cases}x-y=0\\y-z=0\\z-x=0\end{cases}\)\(\Leftrightarrow\begin{cases}x=y\\y=z\\z=x\end{cases}\)\(\Leftrightarrow x=y=z\)

Áp dụng vào bài ta có:

\(A=x^2+y^2+z^2\ge xy+yz+xz=12\)

Dấu "=' xảy ra khi \(\begin{cases}x=y=z\\xy+yz+xz=12\end{cases}\)\(\Leftrightarrow x=y=z=\pm2\)

Vậy \(Min_A=12\) khi \(x=y=z=\pm2\)

\(\left(2x+3\right)\left(x-4\right)+\left(x-5\right)\left(x-2\right)=\left(3x-5\right)\left(x-4\right)\)

\(\Leftrightarrow\left(2x^2-5x-12\right)+\left(x^2-7x+10\right)=3x^2-17x+20\)

\(\Leftrightarrow3x^2-12x-2-3x^2+17x-20=0\)

\(\Leftrightarrow5x-22=0\)

\(\Leftrightarrow x=\frac{22}{5}\)

\(x^4+x+2x^2+x+1\)

\(=\left(x^4+2x^2+1\right)+\left(x^3+x\right)\)

\(=\left(x^2+1\right)^2+x\left(x^2+1\right)\)

\(=\left(x^2+1\right)\left(x^2+1+x\right)\)

\(x^4+x^3+2x^2+x+1\)

=\(x^2\left(x^2+x+1\right)+\left(x^2+x+1\right)\)

=\(\left(x^2+x+1\right)\left(x^2+1\right)\)

câu a

\(=\left(x+2\right)^2-\left(x-3\right)\left(x-1\right)\\ =x^2+4x+4-x^2-4x-4\\ =0\\ =>\)

=> giá trị bt k phụ thuộc vào biến x

câu b

khai triển ra làm tương tự nha bạn

A= 2005⁴-2004.2006.(2005²+1)

=\(2005^4-\left(2005-1\right)\cdot\left(2005+1\right)\cdot\left(2005^2+1\right)\)

=\(2005^4-\left(2005^2-1\right)\cdot\left(2005^2+1\right)\)

=\(2005^4-\left(2005^4-1\right)\)

=1

B=1999.(2000²+2001)-2001.(2000²-1999)

=\(1999\cdot2000^2+1999\cdot2001-2001\cdot2000^2+2001\cdot1999\)

=\(2000^2\left(1999-2001\right)+2\cdot1999\cdot2001\)

=\(2000^2\cdot\left(-2\right)+2\cdot1999\cdot2001\)

=\(2000^2\cdot\left(-2\right)+2\left(2000-1\right)\left(2000+1\right)\)

=\(-2\cdot2000^2+2\left(2000^2-1\right)\)

=\(-2\cdot2000^2+2\cdot2000^2-2\)

=-2

\(A=x^2+y^2-xy-x+y+1\)

\(2A=2x^2+2y^2-2xy-2x+2y+2\)

\(=\left(x^2+y^2-2xy\right)+\left(x^2-2x+1\right)+\left(y^2+2y+1\right)\)

\(=\left(x-y\right)^2+\left(x-1\right)^2+\left(y+1\right)^2\)

Ta có: \(\left(x-y\right)^2\ge0\forall x,y;\left(x-1\right)^2\ge0\forall x;\left(y+1\right)^2\ge0\forall y\)

\(\Rightarrow2A\ge0\forall x,y\)

Dấu "=" xảy ra khi

x - y = 0 và x - 1 = 0 và y + 1 = 0

\(\Leftrightarrow\) x = y và x = 1 và y = - 1 (vô lí)

Vậy không tồn tại giá trị nhỏ nhất của biểu thức A.

x^2 +y^2-xy-x+y+1

=>[( x+y).(x^2-xy+y^2)] +1

=> ( x^3+y^3) +1

=> (x^3+y^3) lớn hơn hoặc bằng(>=) 0 với mọi x ,y thuộc Z

=> ( x^3+y^3)+1 lớn hơn hoặc = 0 với mọi x,y thuộc Z

=> GTNN của biểu thức trên là 1 tại x=-y( x, y đối nhau)

x²+y²-xy-x+y+1

= [(x+y)(x²-xy+y²)] +1

= (x³+y³) +1

Ta có: (x³+y³) \(\ge\) 0 (với mọi x;y \(\in\) Z)

Suy ra: (x³+y³) +1 \(\ge\) 1 (với mọi x;y \(\in\) Z)

Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức đã cho là 1 với x;y đối nhau (x=-y hoặc -x=y)

CHÚC BẠN HỌC TỐT

\(x^5+x+1=x^5-x^2+x^2+x+1=x^2\left(x^3-1\right)+\left(x^2+x+1\right)=x^2\left(x-1\right)\left(x^2+x+1\right)+\left(x^2+x+1\right)\)

\(=\left(x^2+x+1\right)\left(x^3-x^2+1\right)\)

5