Bài 2.1: Khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng

Gọi I là trung điểm của đoạn thẳng AB. Khi đó \(I\left(2;0;2\right)\) với mọi điểm M đều có :

\(MA^2+MB^2=\overrightarrow{MA^2}+\overrightarrow{MB^2}\)

                       \(=\left(\overrightarrow{MI}+\overrightarrow{IA}\right)^2+\left(\overrightarrow{MI}+\overrightarrow{IB}\right)^2\)

                       \(=2MI^2+\left(IA^2+IB^2\right)=2MI^2+\frac{AB^2}{2}\)

Do đó \(M\in\left(P\right)\) sao cho \(MA^2+MB^2\) bé nhất khi và chỉ khi M là hình chiếu của I trên mặt phẳng (P)

Gọi \(\left(x;y;z\right)\) là tọa độ hình chiếu vuông góc của điểm I trên mặt phẳng (P). Khi đó ta có hệ phương trình :

\(\begin{cases}x+y+z-6=0\\\frac{x-2}{1}=\frac{y-0}{1}=\frac{z-2}{1}\end{cases}\)

Giải hệ thu được :

\(x=\frac{8}{3};y=\frac{2}{3};z=\frac{8}{3}\)

Vậy điểm M cần tìm là \(M\left(\frac{8}{3};\frac{2}{3};\frac{8}{3}\right)\)

a. Từ giả thiết ta có \(\overrightarrow{AB}=\left(1;-6;-5\right)\) và \(\overrightarrow{CA}=\left(1;2;1\right)\) 

Suy ra :

\(\left|\overrightarrow{AB;}\overrightarrow{CA}\right|=\left(\left|\begin{matrix}-6&-5\\2&1\end{matrix}\right|;\left|\begin{matrix}-5&1\\1&1\end{matrix}\right|;\left|\begin{matrix}1&-6\\1&2\end{matrix}\right|\right)\)

Từ đó  do \(\left[\overrightarrow{AB;}\overrightarrow{CA}\right]\ne\overrightarrow{0}\) nên A, B, C không thẳng hàng và mặt phẳng (P) đi qua A,B,C có vecto pháp tuyến \(\overrightarrow{n}=\frac{1}{2}\left[\overrightarrow{AB;}\overrightarrow{CA}\right]=\left(2;-3;4\right)\)

Suy ra (P) có phương trình:

 \(2\left(x-3\right)-3\left(y-3\right)+4\left(z-2\right)=0\)

hay : 

\(2x-3y+4z-5=0\)

b. Do \(OD=\sqrt{1^2+2^2+1^2}=\sqrt{6}\) nên \(S_{\Delta ODE}\) bé nhất khi và chỉ khi \(d\left(E;OD\right)\) bé nhất.

\(\overrightarrow{OD}.\overrightarrow{n}=1.2.\left(-3\right)+1.4\)  và\(1.2+2\left(-3+1.4-5\ne0\right)\) nên \(OD\backslash\backslash\left(P\right)\). Bởi vậy tập hợp tất cả những điểm \(E\in\left(P\right)\) sao cho \(d\left(E;OD\right)\) bé nhất là OD trên mặt phẳng (P)

Gọi d là đường thẳng đi qua O và vuông góc với (P). Khi đó d có phương trình :

\(\frac{x}{2}=\frac{y}{-3}=\frac{z}{4}\)

Gọi M là hình chiếu của O(0;0;0) trên (P). Khi đó tọa độ của M thỏa mãn hệ phương trình :

\(\begin{cases}\frac{x}{2}=\frac{y}{-3}=\frac{z}{4}\\2x-3y+4z-5=0\end{cases}\)

Giải hệ ta được : \(M\left(\frac{10}{29};\frac{-15}{29};\frac{20}{29}\right)\)

Vậy tập hợp tất cả các điểm E cần tìm là đường thẳng đi qua M, song song với OD, do đó có phương trình dạng tham số :

          \(\begin{cases}x=\frac{10}{29}+t\\y=-\frac{15}{29}+2t\\z=\frac{20}{29}+t\end{cases}\)   \(\left(t\in R\right)\)

bài này 2 cách làm. làm . A(-2;4) B(-2;-1) C(3;-1) D(3;-1)

đường thẳng AB qua H và vuông HE nên ptdt AB : x+2=0

đường thẳng AD qua K và vuông KE nên ptdt AD : -y+4=0

Tọa độ A là nghiệm của hệ : \(\begin{cases}x+2=0\\-y+4=0\end{cases}\) \(\Leftrightarrow\begin{cases}x=-2\\y=4\end{cases}\) vậy A(-2;4)

\(\overrightarrow{HE}=\left(4;0\right)\Rightarrow HE=AK=4;\overrightarrow{KE}=\left(0;-1\right)\Rightarrow KE=1\) . Vậy \(\overrightarrow{AK}=\frac{4}{5}\overrightarrow{AD}\) , có \(\overrightarrow{AK}=\left(4;0\right);\overrightarrow{AD}=\left(x_D+2;y_D-4\right)\) ta có hê : \(\begin{cases}4=\frac{4}{5}\left(x_D+2\right)\\0=\frac{4}{5}\left(y_D-4\right)\end{cases}\) \(\Leftrightarrow\begin{cases}x=3\\y=4\end{cases}\)Vậy D(3;4) 

ptdt DE đi qua D và E nên ta có ptdt: x-y+1=0

Tọa độ điểm B là nghiêm của hệ phương trình đường thẳng DE và AB: \(\begin{cases}x-y=-1\\x=-2\end{cases}\) \(\Leftrightarrow\begin{cases}x=-2\\y=-1\end{cases}\) Vậy B(-2;-1)

Goi O(x_{o ;}y_o) là giao điểm của BD và AC. ta có : \(\begin{cases}x_o=\frac{-2+3}{2}=\frac{1}{2}\\y_o=\frac{-1+4}{2}=\frac{3}{2}\end{cases}\) Vậy O(\(\frac{1}{2};\frac{3}{2}\)) . O là trung điểm của AC nên C(3;-1)

d(H;SBD)=d(A;SBD)

http://baitaptoan.net/bai-tap-lang-tru/

kẻ CE//BD ( E thuộc AD)
=> d( BD;SC)= d( BD; ( SCE))=d( O; ( SCE))
kẻ OK _|_SC
OC_|_ CE
SO_|_CE => CE_|_ ( SOC) => CE_|_OK 
do đó OK_|_(SCE)=> d(O;(SCE))=OK
1/OK^2=1/SO^2+1/OC^2
 

câu 2:
BC//AD=> d( BC;SA)=d(BC:(SAD))=d( B;( SAD))=2 d( O; (SAD))
kẻ OH_|_ AD
kẻ OE_|_SH
ta có OH_|_AD; SO_|_AD=> AD_|_(SOH)=> AD_|_ OE
do đó OE_|_( SAD)=> d( O; (SAD))=OE