Bài 1: Số phức

câu A

Cau D

A(1;3) ; B(-3;6)

\(\overrightarrow{AB}\)= (-4;3)

\(\left|\overrightarrow{AB}\right|\)= \(\sqrt{\left(-4\right)^2+3^2}\) = 5

ta có : \(\left|z^2+4\right|=2\left|z\right|\Leftrightarrow\left|\left(a+bi\right)^2+4\right|=2\left|a+bi\right|\)

\(\Leftrightarrow\left|a^2-b^2+4+2abi\right|=2\left|a+bi\right|\)

\(\Leftrightarrow\sqrt{\left(a^2-b^2+4\right)^2+\left(2ab\right)^2}=2\sqrt{a^2+b^2}\)

\(\Leftrightarrow\left(a^2-b^2+4\right)^2+\left(2ab\right)^2=4\left(a^2+b^2\right)\)

\(\Leftrightarrow a^4+b^4+16-2a^2b^2-8b^2+8a^2+4a^2b^2=4a^2+4b^2\)

\(\Leftrightarrow a^4+b^4+2a^2b^2-4a^2-4b^2+4=8b^2-8a^2-12=P\)

\(\Leftrightarrow P=\left(a^2+b^2\right)^2-4\left(a^2+b^2\right)+4\)

\(\Leftrightarrow P=\left(a^2+b^2-2\right)^2=\left(\left|z\right|^2-2\right)^2\)

vậy \(P=\left(\left|z\right|^2-2\right)^2\)

đặc \(z=a+bi\) với \(a;b\in R;i^2=-1\)

ta có : \(\left|z-4-3i\right|=\sqrt{5}\Leftrightarrow\left(a-4\right)^2+\left(b-3\right)^2=5\)

\(\Leftrightarrow a^2+b^2=8x+6x-20\)

đặc \(A=\left|z+1-3i\right|+\left|z-1+i\right|=\sqrt{\left(a+1\right)^2+\left(b-3\right)^2}+\sqrt{\left(a-1\right)^2+\left(b+1\right)^2}\)

áp dụng bunhiacopxki ta có :

\(A\le\sqrt{2\left[\left(a+1\right)^2+\left(b-3\right)^2+\left(a-1\right)^2+\left(b+1\right)^2\right]}\)

\(\Leftrightarrow A\le\sqrt{2\left(2a^2+2b^2-4b+12\right)}=\sqrt{2\left(16a+12b-40-4b+12\right)}\)

\(\Leftrightarrow A\le\sqrt{2\left[16\left(a-4\right)+8\left(b-3\right)\right]+120}\)

áp dụng bunhiacopxki lần nữa ta có :

\(A\le\sqrt{2\left(16^2+8^2\right)\left[\left(a-4\right)^2+\left(b-3\right)^2\right]+120}\)

\(\Leftrightarrow A\le2\sqrt{830}\) dâu "=" xảy ra khi \(\left\{{}\begin{matrix}\left(a+1\right)^2+\left(b-3\right)^2=\left(a-1\right)^2+\left(b+1\right)^2\\\dfrac{a-4}{16}=\dfrac{b-3}{8}\\\left(a-4\right)^2+\left(b-3\right)^2=5\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}\left\{{}\begin{matrix}a=6\\b=4\end{matrix}\right.\\\left\{{}\begin{matrix}a=2\\b=2\end{matrix}\right.\end{matrix}\right.\)

khi \(\left\{{}\begin{matrix}a=6\\b=4\end{matrix}\right.\Rightarrow P=a+b=10\)

khi \(\left\{{}\begin{matrix}a=2\\b=2\end{matrix}\right.\Rightarrow P=a+b=4\)

vậy \(P=10;P=4\)

Lời giải:

Đặt \(z=a+bi\) với $a,b$ là các số thực.

Ta có: \(|z+2-i|=|(a+2)+i(b-1)|=2\sqrt{2}\)

\(\Leftrightarrow (a+2)^2+(b-1)^2=8(*)\)

Và:

\((z-1)^2=z^2+1-2z=(a+bi)^2+1-2(a+bi)\)

\(=a^2-b^2+2abi+1-2(a+bi)\)

\(=(a^2-b^2+1-2a)+i(2ab-2b)\)

Để \((z-1)^2\) thuần ảo thì \(a^2-b^2+1-2a=0\)

\(\Leftrightarrow (a-1)^2=b^2\)

\(\Leftrightarrow \left[\begin{matrix} a-1=b\\ a-1=-b\end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left[\begin{matrix} a=b+1\\ a=1-b\end{matrix}\right.\)

Nếu \(a=b+1\), thay vào (*):

\((b+3)^2+(b-1)^2=8\Leftrightarrow b^2+2b+1=0\Leftrightarrow b=-1\)

\(\Rightarrow a=0\Rightarrow z=-1\)

Nếu \(a=1-b\Rightarrow (3-b)^2+(b-1)^2=8\)

\(\Leftrightarrow b^2-4b+1=0\Rightarrow b=2\pm \sqrt{3}\)

\(\Rightarrow a=-1\mp \sqrt{3}\), tương ứng với 2 số $z$

Vậy có $3$ số thỏa mãn.

Lời giải:

Đặt \(z=a+bi(a,b\in\mathbb{R})\)

Từ \(z\overline{z}=1\Rightarrow a^2+b^2=1\)

Do đó tập hợp các điểm biểu diễn số phức $z$ nằm trên đường tròn tâm \(O(0;0)\) bán kính \(R=1\)

Lại có:

\(|z+\sqrt{3}+i|=m(m\geq 0)\)

\(\Leftrightarrow |(a+\sqrt{3})+i(b+1)|=m\)

\(\Leftrightarrow (a+\sqrt{3})^2+(b+1)^2=m^2\)

Do đó tập hợp các điểm biểu diễn số phức $z$ nằm trên đường tròn tâm \(I(-\sqrt{3}; -1)\) bán kính \(R'=m\)

Để số phức $z$ tồn tại duy nhất thì \((O); (I) \) phải tiếp xúc trong hoặc tiếp xúc ngoài.

Nếu \((O); (I)\) tiếp xúc ngoài:

\(\Rightarrow OI=R+R'\Leftrightarrow 2=1+m\Leftrightarrow m=1\)

Nếu \((O),(I)\) tiếp xúc trong.

TH1: \((O)\) nằm trong $(I)$

\(OI+R=R'\Leftrightarrow 2+1=m\Leftrightarrow m=3\)

TH2: \((I)\) nằm trong $(O)$

\(OI+R'=R\Leftrightarrow 2+m=1\Leftrightarrow m=-1\) (loại vì \(m\geq 0\) )

Do đó \(S=\left\{1;3\right\}\) hay số phần tử của S là 2.

Lời giải:

Đặt \(z=a+bi\)

Từ \(|z|=m^2+2m+5\Leftrightarrow \sqrt{a^2+b^2}=m^2+2m+5\)

\(\Leftrightarrow a^2+b^2=(m^2+2m+5)^2\)

\(w=(3-4i)z-2i=(3-4i)(a+bi)-2i\)

Thực hiện khai triển: \(w=(3a+4b)+i(3b-4a-2)\)

Bán kính đường tròn chứa tập hợp biểu diễn số phức $w$ là:

\(R=\sqrt{(3a+4b)^2+(3b-4a-2)^2}\)

\(=\sqrt{25(a^2+b^2)+16a-12b+4}\)

Ta có:

\(25(a^2+b^2)+16a-12b+4=\frac{45}{2}(a^2+b^2)+(a\sqrt{\frac{5}{2}}+\frac{8\sqrt{10}}{5})^2+(b\sqrt{\frac{5}{2}}-\frac{6\sqrt{10}}{5})^2-36\)

\(\geq \frac{45}{2}(a^2+b^2)-36\)

\(\Rightarrow R\geq \sqrt{\frac{45}{2}(m^2+2m+5)^2-36}=\sqrt{\frac{45}{2}[(m+1)^2+4]^2-36}\)

\(\geq \sqrt{\frac{45}{2}.4^2-36}=\sqrt{324}\)

Vậy \(R_{\min}=\sqrt{324}=18\)

bài 1) đặc \(z=a+bi\) với \(a;b\in z;i^2=-1\)

ta có : \(\left(i\overline{z}+3+i\right)\left(iz+1\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left(i\left(a-bi\right)+3+i\right)\left(i\left(a+bi\right)+1\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left(ai+b+3+i\right)\left(ai-b+1\right)=0\)

\(\Leftrightarrow-a^2-abi+ai+abi-b^2+b+3ai-3b+3-a-bi+i=0\)

\(\Leftrightarrow\left(-a^2-b^2-2b-a\right)+\left(4a-b\right)i=-3-i\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}-a^2-b^2-2b-a=-3\\4a-b=-1\end{matrix}\right.\) giải phương trình theo cách thế ta có

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}\left\{{}\begin{matrix}a=-1\\b=-3\end{matrix}\right.\\\left\{{}\begin{matrix}a=0\\b=1\end{matrix}\right.\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow z=-1-3i;z=i\)

bài 2) đặc \(z=a+bi\) với \(a;b\in z;i^2=-1\)

ta có : \(z^2-\overline{z}=0\Leftrightarrow\left(a+bi\right)^2-\left(a-bi\right)=0\)

\(\Leftrightarrow a^2-b^2+2abi=a-bi\) \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}a^2-b^2=a\\2ab=-b\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}a=\dfrac{-1}{2}\\b=\pm\dfrac{\sqrt{3}}{2}\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow z=-\dfrac{1}{2}+\dfrac{\sqrt{3}}{2}i;z=-\dfrac{1}{2}-\dfrac{\sqrt{3}}{2}i\)

Đặt \(z = a + bi (a,b \in \mathbb{Z})\)

Ta có:

\(z^2+\left|z\right|=0\\ \Leftrightarrow\left(a+bi\right)^2+\left|a+bi\right|=0\\ \Leftrightarrow a^2-b^2+2abi+\sqrt{a^2+b^2}=0+0i\\ \Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}2ab=0\left(1\right)\\a^2-b^2+\sqrt{a^2+b^2}=0\left(2\right)\end{matrix}\right.\\ \left(1\right)\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}a=0\\b=0\end{matrix}\right.\\\text{Nếu }a=0\\ \Rightarrow\left(2\right)\Leftrightarrow\left|b\right|-b^2=0\\ \Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}b=0\\b=1\\b=-1\end{matrix}\right.\\ \text{Nếu }b=0\\ \Rightarrow\left(2\right)\Leftrightarrow\left|a\right|+a^2=0\\ \Leftrightarrow a=0\)

Vậy

\(\left(a,b\right)\in\left\{\left(0;0\right);\left(0;1\right);\left(0;-1\right)\right\}\\ \Rightarrow z\in\left\{0;i;-i\right\}\)

Lời giải:

Đặt \(z=a+bi\)

Ta có: \(|z|-2\overline{z}=-7+3i+z\)

\(\Leftrightarrow \sqrt{a^2+b^2}-2(a-bi)=-7+3i+a+bi\)

\(\Leftrightarrow (\sqrt{a^2+b^2}-2a)+2bi=(-7+a)+i(b+3)\)

\(\Rightarrow \left\{\begin{matrix} \sqrt{a^2+b^2}-2a=-7+a(1)\\ 2b=b+3(2)\end{matrix}\right.\)

Từ (2) suy ra \(b=3\)

Thay vào (1): \(\sqrt{a^2+9}=3a-7\)

\(\Rightarrow (3a-7)^2=a^2+9\)

\(\Leftrightarrow 9a^2+49-42a=a^2+9\)

\(\Leftrightarrow 8a^2-42a+40=0\)

\(\Leftrightarrow a=4\) (chọn) hoặc \(a=\frac{5}{4}\) (loại do \(a\in\mathbb{Z}\) )

Vậy số phức \(z=4+3i\)

\(\Rightarrow w=1-(4+3i)+(4+3i)^2=4+21i\)

\(\Rightarrow |w|=\sqrt{4^2+21^2}=\sqrt{457}\)