Bài 8: Tính chất ba đường trung trực của tam giác

Hướng dẫn:

Xét tam giác ABC với AH là đường trung tuyến đồng thời là đường trung trực nên

AH ⊥ BC và HB = HC

Xét hai tam giác vuông HAB và HAC có:

HB = HC

= 90⁰

AH: cạnh chung

Nên ∆HAB = ∆HAC => AB = AC

Vậy ∆ABC cân tại A

Hướng dẫn:

Vì điểm đào giếng cách ba ngôi nhà (ba ngôi nhà không cùng nằm trên một đường thẳng) nên điểm đó chính là giao điểm ba đường trung trực của ba cạnh trong tam giác có đỉnh là ba ngôi nhà.

Hướng dẫn:

Đường tròn đi qua ba dỉnh của tam giác gọi là đường tròn ngoại tiếp tam giác đó. Đẻ vẽ đường tròn ngoại tiếp ta cần xác định tâm của đường tròn đó. Muốn xác định tâm ta vẽ hai đường trung trực và giao điểm hai đường trung trực ( cũng là giao điểm của ba trung trực cần tìm)

Nhận xét:

- Nếu tam giác có ba góc đều nhọn thì tâm đường tròn ngoại tiếp nằm trong tam giác.

- Nếu tam giác có góc vuông thì tâm đường tròn nằm trên cạnh huyền ( tâm là trung điểm của cạnh huyền)

- Nếu tam giác có góc tù thì tâm đường tròn ngoại tiếp nằm ngoài tam giác

Hướng dẫn:

Từ hình vẽ ta có:

DK là trung trực của Ac, DI là đường trung trực của AB. Do đó ∆ADK = ∆CDK (c.c.c)

=>

hay DK là phân giác

=> =

∆ADI = ∆BDI (c.c.c)

=>

=> DI là phân giác

=> =

Vì AC // DI ( cùng vuông góc với AB) mà DK ⊥ AC

=> DK ⊥ DI

hay + = 90⁰

Do đó + = 90⁰

=> + = 180⁰

a) Giả sử ∆ABC vuông góc tại A. Vẽ hai đường trung trực của hai cạnh góc vuông AB, AC cắt nhau tại M. Ta chứng minh M là trung điểm của BC.

Vì M là giao điểm hai đường trung trực d₁, d₂

của AB, AC mà AB ⊥ AC nên B, M, C thẳng hàng (bài tập 55)

Vì MA = MB (M thuộc đường trung trực của AB)

MA = MC (M thuộc đường trung trực của AC)

=> MB = MC

Do B, M, C thẳng hàng và M cách đều BC nên M là trung điểm của BC

b) M là trung điểm Bc => MB = BC

mà AM = MB nên MA = BC

Vậy độ dài đường trung tuyến xuất phát từ đỉnh góc vuông bằng một nửa độ dài cạnh huyền.

Lấy ba điểm phân biệt A, B, C trên đường viền ngoài, suy ra ∆ABC có đường tròn ngoại tiếp chính là đường viền ngoài. Do đó tâm đường tròn ngoại tiếp chính là giao điểm của hai đường trung trực của hai cạnh AB, AC nên ban kính là độ dài đoạn thẳng từ giao điểm O đến A

điểm O cách đều ba điểm A,B,C

khi OA=OB=OC

=>O là tâm đường tròn ngoại tiếp ΔABC

Nối KA,KB,KC.

Ta có KD là đường trung trực AB

=>KA=KB(tính chất đường trung trực)

\(\Rightarrow\Delta KAB\) cân tại K nên KD là đường phân giác của \(\widehat{AKB}\)

\(\Rightarrow\widehat{K_1}=\widehat{K_3}\)

\(\Rightarrow\widehat{AKB}=2\widehat{K_1}\) (1)

KE là đường trung trực của AC

=>KA=KC(tính chất đường trung trực)

\(\Rightarrow\Delta KAC\) cân tại K nên KE là đường phân giác của \(\widehat{AKC}\)

\(\Rightarrow\widehat{K_2}=\widehat{K_4}\)

\(\Rightarrow\widehat{AKC}=2\widehat{K_2}\left(2\right)\)

\(KD\perp AB\left(gt\right)\)

\(AC\perp AB\left(gt\right)\)

- Lấy 3 điểm A, B, C bất kì trên đường viền. Ba điểm này tạo thành tam giác ABC và tâm và bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác này chính là tâm và bán kính của đường viền.

- Vẽ trung trực của 2 cạnh AB, BC, chúng cắt nhau tại O. Từ tính chất đường trung trực suy ra OA = OB = OC

Do đó O chính là tâm đường tròn này. Khi đó OA hoặc OB hoặc OC chính là bán kính cần xác định.

∆ABC cân tại A, AM là đường trung tuyến ứng với cạnh đáy BC nên AM cũng là đường trung trực của BC.

D là giao điểm của các đường trung trực AC và BC nên D thuộc trung trực của AB.

Vậy DA = DB (tính chất đường trung trực).