Bài 5: Tính chất đường phân giác của một góc

Hướng dẫn :

Theo cách vẽ thì M cách đều hai cạnh Ox, Oy (cùng bằng khoảng cách 2 lề của chiếc thước

Vì M cách đều Ox, Oy nên theo định lí đảo M thuộc phân giác của hay OM là phân giác của

Hướng dẫn :

Theo cách vẽ thì M cách đều hai cạnh Ox, Oy (cùng bằng khoảng cách 2 lề của chiếc thước

Vì M cách đều Ox, Oy nên theo định lí đảo M thuộc phân giác của hay OM là phân giác của

Hướng dẫn :

Gọi M là giao điểm của hai tia phân giác của hai góc ngoài B và C của ∆ABC

Kẻ MH ⊥ AB; MI ⊥ BC; MK ⊥ AC

( H ∈ AB, I ∈ BC, K ∈ AC)

Ta có: MH = MI (Vì M thuộc phân giác của góc B ngoài)

MI = MK (Vì M thuộc phân giác của góc C ngoài)

Suy ra : MH = MK

=> M thuộc phân giác của góc

Hướng dẫn:

a) Vì Ot là phân giác của

nên = =

Ot' là phân giác của

nên = =

=> + = + = ( + )

mà ( + ) = 180⁰ (2 góc kề bù)

=> + = 180⁰ = 90⁰

Vậy hai tia phân giác của hai góc kề bù tạo thành một góc vuông

b) Nếu M thuộc Ot hoặc Ot' thì M cách đều hai đường thẳng xx' và yy'

Thật vậy: M ε Ot do Ot là phân giác của nên M cách đều Ox, Oy

=> M cách đều xx',yy'

M ε Ot'do Ot' là phân giác của nên M cách đều xx', yy'

=> M cách đều xx',yy'

c) M cách đều hai đường thẳng xx', yy'

Nếu M nằm trong một góc trong bốn góc , , , thì M phải thuộc phân giác của góc ây tức M phải thuộc Ot hoặc Ot'

d) Khi M ≡ O thì khoảng cách từ M đến xx', yy' bằng 0

e) Từ các câu trên ta có nhận xét: Tập hợp tất cả các điểm cách đều hai đường thẳng cắt nhau xx', yy' thuộc hai đường thẳng vuông góc nhau lần lượt là phân giác của các góc tạo bởi hai đường thẳng cắt nhau đó.

a) ∆AOD và ∆COB có:

OC =OA (gt)

OB = OD (gt)

$\widehat{xOy}$ là góc chung

=> ∆AOD = ∆COB (cgc)

=> AD = BC

b) ∆AOD = ∆COB => $\widehat{AOD}=\widehat{OCB}$

=> $\widehat{BAI}=\widehat{DCI}$ (kề bù với hai góc bằng nhau)

Vì vậy ∆DIC = ∆BIA do:

CD = AB ( OD = OB; OC = OA)

$\widehat{DCI}=\widehat{ABI}$ ( ∆AOD = ∆COB)

$\widehat{BAI}=\widehat{DCI}$ (chứng minh trên)

=> IC = IA và ID = IB

c) Ta có ∆OAI = ∆OIC (c.c.c)=> $\widehat{COI}=\widehat{AOI}$

=> OI là phân giác của $\widehat{xOy}$

a) ∆AOD và ∆COB có:

OC =OA (gt)

OB = OD (gt)

$\widehat{xOy}$ là góc chung

=> ∆AOD = ∆COB (cgc)

=> AD = BC

b) ∆AOD = ∆COB => $\widehat{AOD}=\widehat{OCB}$

=> $\widehat{BAI}=\widehat{DCI}$ (kề bù với hai góc bằng nhau)

Vì vậy ∆DIC = ∆BIA do:

CD = AB ( OD = OB; OC = OA)

$\widehat{DCI}=\widehat{ABI}$ ( ∆AOD = ∆COB)

$\widehat{BAI}=\widehat{DCI}$ (chứng minh trên)

=> IC = IA và ID = IB

c) Ta có ∆OAI = ∆OIC (c.c.c)=> $\widehat{COI}=\widehat{AOI}$

=> OI là phân giác của $\widehat{xOy}$

Hướng dẫn:

+ Trên cạnh thứ nhất lấy hai điểm phân biệt A; B trên cạnh thứ hai lấy hai điểm C; D sao cho khoảng cách từ C; D đến đỉnh của góc lần lượt bằng khoảng cách từ đỉnh của góc với A, B

+ Xác định giao điểm I của BC và AD; tia vẽ từ đỉnh của góc qua I chính là tia phân giác của góc đó.

+ Phần chứng minh tương tự như bài 34

Kẻ MH vuông góc với Ox, MK vuông góc với Oy

=>MH và MK là chiều rộng của thước hai lề

=>MH=MK

=>M thuộc tia phân giác của góc xOy

Gọi K là giao điểm của hai đường phân giác góc ngoài tại B và C

Kẻ KE,KD,KF vuông góc lần lượt với BC,AB,AC

Xét ΔBDK vuông tại D và ΔBEK vuông tại E có

KB chung

\(\widehat{DBK}=\widehat{EBK}\)

Do đó: ΔBDK=ΔBEK

Suy ra: KD=KE(1)

Xét ΔCEK vuông tại E và ΔCFK vuông tại F có

CK chung

\(\widehat{ECK}=\widehat{FCK}\)

Do đó;ΔCEK=ΔCFK

Suy ra: KE=KF(2)

Từ (1) và (2) suy ra KD=KF

hay K nằm trên đường phân giác của góc A(Đpcm)

D cách đều hai cạnh của góc B nên D nằm trên đường phân giác của góc

D nằm trên đường trung tuyến AM.

Vậy D là giao điểm của đường phân giác của góc và đường trung tuyến AM.

Ta có hình vẽ: