Question

Xác định m để y = x³/3 - (m+1)x² + mx đồng biến trên [4,9]

Answer 1

\(y'=x^2-2\left(m+1\right)x+m\)

Hàm đồng biến trên \(\left[4;9\right]\Leftrightarrow y'\ge0\) với mọi \(x\in\left[4;9\right]\)

\(\Leftrightarrow x^2-2\left(m+1\right)x+m\ge0\)

\(\Leftrightarrow x^2-2x\ge m\left(2x-1\right)\)

\(\Leftrightarrow m\le\frac{x^2-2x}{2x-1}\Rightarrow m\le\min\limits_{\left[4;9\right]}f\left(x\right)\) với \(f\left(x\right)=\frac{x^2-2x}{2x-1}\)

\(f'\left(x\right)=\frac{2\left(x^2-x+1\right)}{\left(2x-1\right)^2}>0\) \(\forall x\in\left[4;9\right]\Rightarrow f\left(x\right)_{min}=f\left(4\right)=\frac{8}{7}\Rightarrow m\le\frac{8}{7}\)