Question

x³ - 4x² + mx - m +3 = 0 (1)

Tìm m để (1) có nghiệm duy nhất

Answer 1

\(x^3-4x^2+mx-m+3=0\\ \Leftrightarrow\left(x-1\right)\left(x^2-3x+m-3\right)=0\\ \Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=1\\x^2-3x+m-3=0\left(2\right)\end{matrix}\right.\)

Để phương trình có 1 nghiệm duy nhất thì \(x^2-3x+m-3=0\) vô nghiệm hoặc có 1 nghiệm kép bằng 1.

TH₁: Phương trình (2) vô nghiệm

\(\Delta=b^2-4ac=9-4\left(m-3\right)=-4m+12< 0\\ \Rightarrow m>3\)

TH₂: Phương trình (2) có 1 nghiệm kép bằng 1, khi đó:

\(\left\{{}\begin{matrix}\Delta=-4m+12=0\\1^2-3\cdot1+m-3=0\end{matrix}\right.\\ \Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}m=3\\m=-1\end{matrix}\right.\left(loại\right)}\)

Vậy để phương trình có nghiệm duy nhất thì m > 3.