Question

x + \(\sqrt{x^2-1}\) = \(\sqrt{x+1}\) + \(\sqrt{x-1}\) + 4

Giải phương trình

Answer 1

Lời giải:
ĐKXĐ: $x\geq 1$
Đặt $\sqrt{x+1}=a; \sqrt{x-1}=b$ (ĐK: $a,b\geq 0$)

PT đã cho trở thành:

$\frac{a^2+b^2}{2}+ab=a+b+4$
$\Leftrightarrow a^2+b^2+2ab=2(a+b)+8$

$\Leftrightarrow (a+b)^2-2(a+b)-8=0$

$\Leftrightarrow (a+b-4)(a+b+2)=0$

Với $a\geq 0; b\geq 0$ thì $a+b+2\geq 2>0$

$\Rightarrow a+b-4=0$

$\Leftrightarrow a+b=4$

$\Leftrightarrow \sqrt{x+1}+\sqrt{x-1}=4$

$\Leftrightarrow \sqrt{x+1}=4-\sqrt{x-1}$

$\Rightarrow x+1=15+x-8\sqrt{x-1}$ (bp 2 vế)

$\Leftrightarrow 14=8\sqrt{x-1}$

$\Leftrightarrow x-1=(\frac{7}{4})^2=\frac{49}{16}$

$\Leftrightarrow x=\frac{65}{16}$ (tm)