Từ điểm M ở ngoài (O) vẽ 2 tiếp tuyến MA;MB (A, B là tiếp điểm) và cát tuyến MCD nằm giữa MA và MO. Gọi H là góc điểm MO và AB ; N là trung điểm CD.
a) C/m 5 điểm M, A, N, O, B cùng thuộc 1 đường tròn
b) C/m MA^2=MH.MO
c) C/m NM là tia phân giác của ANB
d) Gọi S là giao điểm ON và BA; K là giao điểm MN và AB. C/m SB.AK=SA.KB
a, Ta có MA ; MB lần lượt là tiếp tuyến (O)
=> ^MAO = ^MBO = 900
Vì N là trung điểm CD => ON vuông CD
Xét tứ giác OAMB có ^MAO + ^MBO = 1800
mà 2 góc này đối Vậy tứ giác OAMB là tứ giác nt 1 đường tròn
Xét tứ giác NAMO có ^MAO = ^MNO = 900
mà 2 góc này kề, cùng nhìn cạnh MO
Vậy tứ giác NAMO là tứ giác nt 1 đường tròn
mà 2 tứ giác này cùng chứ tam giác OAM
Vậy M;A;N;O;B nt 1 đường tròn
b, Ta có MA = MB ( tc tiếp tuyến cắt nhau ) ; OA = OB
Vậy OM là đường trung trực đoạn AB
Xét tam giác MAO vuông tại A có AH là đường cao
AM^2 = MH.MO ( hệ thức lượng )
c, Xét 5 điểm M;A;N;O;B nt 1 đường tròn có
^MNA = ^MBA ( góc nt chắn cung AM )
^MNB = ^MAB ( góc nt chắn cung MB )
mà MA = MB ( tc tiếp tuyến cắt nhau )
=> MAB cân tại M => ^MAB = ^MBA
=> ^ANM = ^MNB
=> NM là phân giác ^ANB
d, Ta có NK là pg của ^ANB nên \(\dfrac{AK}{KB}=\dfrac{NA}{NB}\)
Lại có NK vuông NS => NS là pg ngoài tam giác ANB \(\dfrac{SA}{SB}=\dfrac{NA}{NB}\)
\(\Rightarrow AK.SB=SA.KB\)