Question

Trong Oxy, cho A(2;0) và đường thẳng d có phương trình x - y + 2 = 0. Gọi M(x;y) là điểm trên đường thẳng d sao cho chu vi tam giác OAM nhỏ nhất. Khi đó x + y  bằng bao nhiêu?

Answer 1

Gọi B là điểm đối xứng A qua d, C là giao điểm của OB và d

\(\Rightarrow AM=BM\)

\(OA+OM+AM=OA+OM+BM\ge OA+OB\)

Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi O, M, B thẳng hàng hay M trùng C

Phương trình đường thẳng d' qua A và vuông góc d có dạng:

\(1\left(x-2\right)+1\left(y-0\right)=0\Leftrightarrow x+y-2=0\)

Gọi D là giao điểm d và d' \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x-y+2=0\\x+y-2=0\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow D\left(0;2\right)\)

D là trung điểm AB \(\Rightarrow B\left(-2;4\right)\)

Phương trình OB: \(2x+y=0\)

Tọa độ M là nghiệm: \(\left\{{}\begin{matrix}2x+y=0\\x-y+2=0\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=-\dfrac{2}{3}\\y=\dfrac{4}{3}\end{matrix}\right.\)