Question

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu (S): x 2 + y 2 + z 2 = 3.  Một mặt phẳng α  tiếp xúc với mặt cầu (S) và cắt các tia Ox, Oy, Oz lần lượt tại A, B, C và thỏa mãn O A 2 + O B 2 + O C 2 = 27.  Diện tích của tam giác ABC bằng

A.  3 3 2

B.  9 3 2

C.  3 3

D.  9 3

Answer 1

Đáp án B.

Mặt cầu S : x 2 + y 2 + z 2 = 3

có tâm O 0 ; 0 ; 0  và bán kính  R = 3

Giả sử A a ; 0 ; 0 , B 0 ; b ; 0 , C 0 ; 0 ; c  với a , b , c > 0   ⇒ Phương trình mặt phẳng α  là: x a + y b + z c − 1 = 0

Để ý rằng O A 2 + O B 2 + O C 2 = 27 ⇔ a 2 + b 2 + c 2 = 27  và vì α  tiếp xúc mặt cầu S :

⇒ d O , α = R = 3 ⇔ 0 a + 0 b + 0 c − 1 1 a 2 + 1 b 2 + 1 c 2 = 3 ⇔ 1 a 2 + 1 b 2 + 1 c 2 = 1 3

Ta luôn có bất đẳng thức a 2 + b 2 + c 2 + 1 a 2 + 1 b 2 + 1 c 2 ≥ 9  với  a , b , c > 0.

Dấu bằng khi  a = b = c = 3

Ta có V O . A B C = O A . O B . O C 6 = a b c 6 = 27 6

hoặc  V O . A B C = d O , α . S A B C 3 ⇔ S A B C = 9 3 2 .