Question

tính

\(\int\frac{dx}{\sqrt{x^2+1}+\sqrt{2-x^2}}\)

Answer 1

ta có

\(\int\frac{dx}{\sqrt{x^2+1}+\sqrt{2-x^2}}=\int\frac{\sqrt{x^2+1}+\sqrt{2-x^2}}{\left(\sqrt{x^2+1}+\sqrt{1-x^2}\right)\left(\sqrt{x^2+1}-\sqrt{2-x^2}\right)}dx=\int\frac{\sqrt{x^2+1}+\sqrt{2-x^2}}{3x^2}dx=\int\frac{\sqrt{x^2+1}}{3x^2}+\int\frac{\sqrt{2-x^2}dx}{3x^2}\)=\(\frac{1}{3}\left(I_1+I_2\right)\)

Tính \(I_1=\int\frac{\sqrt{1+x^2}}{x^2}dx\)

\(tant=x\Rightarrow dx=\frac{1}{cos^2x}dx\)

ta có

\(\int\frac{\sqrt{1+tan^2t}}{cos^2t.tan^2t}dt=\int\frac{\frac{1}{cosx}}{sin^2t}dx=\int\frac{d\left(sint\right)}{sin^2t\left(1-sin^2t\right)}=\int\frac{dy}{y^2\left(1-y^2\right)}\)

làm tương tự câu trên ta tính đc \(I_1,I_2\) TA TÍNH ĐC I