Mình làm bài tổng quát nha để bạn hiểu sau rồi bạn thay vào .
Đặt \(S_1=1+2+...+n\)
\(\Rightarrow S_1=\frac{n\left(n+1\right)}{2}\)
Đặt \(S_2=1^2+2^2+...+n^2\)
Ta có:
\(2^3=\left(1+1\right)^3=1^3+3.1^2+3.1+1\)
\(3^3=\left(2+1\right)^3=2^3+3.2^2+3.2+1\)
..................................................................................
\(\left(n+1\right)^3=n^3+3n^2+3n+1\)
Cộng từng vế n thẳng đẳng thức trên ta được :
\(\left(n+1\right)^3=1^3+3.\left(1^2+2^2+...+n^2\right)+3.\left(1+2+3+...+n\right)+n\)
\(\Rightarrow\left(n+1\right)^3=1^3+3.\left(1^2+2^2+...+n^2\right)+\frac{3n\left(n+1\right)}{2}+n\)
\(\Rightarrow3.\left(1^2+2^2+...+n^2\right)=\left(n+1\right)^3-\frac{3n\left(n+1\right)}{2}-\left(n+1\right)\)
Hay \(3S_2=\left(n+1\right)\left[\left(n+1\right)^2-\frac{3n}{2}-1\right]\)
\(\Rightarrow3S_2=\left(n+1\right)\left(n^2+\frac{n}{2}\right)\)
\(\Rightarrow3S_2=\frac{1}{2}n\left(n+1\right)\left(2n+1\right)\)
\(\Rightarrow S_2=\frac{1}{6}n\left(n+1\right)\left(2n+1\right)\)
Đặt \(S_3=1^3+2^3+...+n^3\)
Ta có:
\(\left(1+1\right)^4=1^4+4.1^3+6.1^2+4.1+1\)
\(\left(2+1\right)^4=2^4+4.2^3+6.2^2+4.2+1\)
........................................................................................
\(\left(n+1\right)^4=n^4+4n^3+6n^2+4n+1\)
Cộng từng vế n đẳng thức trên ta được :
\(\left(n+1\right)^4=1^4+4.\left(1^3+2^3+...+n^3\right)+6.\left(1^2+2^2+...+n^2\right)+4.\left(1+2+...+n\right)+n\)
\(\Rightarrow\left(n+1\right)^4=1+4S_3+6S_2+4S_1+n\)
Đã chứng minh \(S_1=\frac{n\left(n+1\right)}{2}\)
\(S_2=\frac{1}{6}n\left(n+1\right)\left(2n+1\right)\)
Từ đó tính được :
\(S_3=\frac{n^2\left(n+1\right)^2}{4}\)
đó là công thức giờ chỉ vệc thay vào
\(1^3+2^3+3^3+4^3+5^3=\frac{5^2\left(5+1\right)^2}{4}=225\)