Question

Tính giá trị nhỏ nhất và lớn nhất của:

y=(x^2+x+1)/(x^2-x+1)

 

Answer 1

\(y=\frac{x^2+x+1}{x^2-x+1}\)

0./ ĐK: \(x^2-x+1>0\forall x\)nên y được xác định với mọi x thuộc R

1./ x = 0 thì y = 1

2./ x khác 0 thì: chia cả tử và mẫu của y cho x²

\(y=\frac{x+1+\frac{1}{x}}{x-1+\frac{1}{x}}=\frac{x+\frac{1}{x}-1+2}{x+\frac{1}{x}-1}=1+\frac{2}{x+\frac{1}{x}-1}\)

Với x > 0 Áp dụng BĐT Cô sy cho 2 số >0: \(x+\frac{1}{x}\ge2\forall x>0\Rightarrow x+\frac{1}{x}-1\ge1\Rightarrow\frac{2}{x+\frac{1}{x}-1}\le2\Rightarrow y\le3\)=> GTLN của y = 3 khi \(x=\frac{1}{x}>0\Rightarrow x=1\)Với x < 0 Áp dụng BĐT Cô sy cho 2 số >0

\(-x+\left(-\frac{1}{x}\right)\ge2\forall x>0\Rightarrow x+\frac{1}{x}\le-2\Rightarrow x+\frac{1}{x}-1\le-3\Rightarrow\frac{2}{x+\frac{1}{x}-1}\ge-\frac{2}{3}\Rightarrow y\ge\frac{1}{3}\)

=> GTNN của y = 1/3 khi \(-x=-\frac{1}{x}>0\Rightarrow x=\frac{1}{x}< 0\Rightarrow x=-1\)

KL: GTLN của y = 3 khi x = 1

GTNN của y = 1/3 khi x = -1.

Answer 2

Mình làm cách khác nhé  ^^

1. Tìm Min :

Ta có : \(y=\frac{x^2+x+1}{x^2-x+1}=\frac{3\left(x^2+x+1\right)}{3\left(x^2-x+1\right)}=\frac{2\left(x^2+2x+1\right)+\left(x^2-x+1\right)}{3\left(x^2-x+1\right)}=\frac{2\left(x+1\right)^2}{3\left(x^2-x+1\right)}+\frac{1}{3}\ge\frac{1}{3}\)

Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi x = -1

Vậy Min y = 1/3 <=> x = -1

2. Tìm Max :

Ta biểu diễn : \(y=\frac{x^2+x+1}{x^2-x+1}=\frac{-2\left(x^2-2x+1\right)+3\left(x^2-x+1\right)}{x^2-x+1}=\frac{-2\left(x-1\right)^2}{x^2-x+1}+3\le3\)

Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi x = 1

Vậy Max y = 3 khi và chỉ khi x = 1

Answer 3

Thanks