Question

Tìm x,y,z thỏa

\(\frac{x}{y+z+1}=\frac{y}{x+z+1}=\frac{z}{x+y-2}=x+y+z\)

Answer 1

Dùng tính chất tỉ lệ thức: \(\frac{a}{b}=\frac{c}{d}=\frac{e}{f}=\frac{a+b+c}{b+d+f}\left(b+d+f\ne0\right)\) 
Xét trường hợp \(x+y+z=0\), ta có :
\(\frac{x}{y+z+1}=\frac{y}{x+z+1}=\frac{z}{x+y-2}=0\) 

\(\Rightarrow x=y=z=0\) 
Xét \(x+y+z=0\), tính chất tỉ lệ thức: 
\(x+y+z=\frac{x}{y+z+1}=\frac{y}{x+z+1}=\frac{z}{x+y-2}=\frac{x+y+z}{2x+2y+2z}=\frac{1}{2}\) 
\(\Rightarrow x+y+z=\frac{1}{2}\), ta có:

 \(2x=y+z+1=\frac{1}{2}-x+1\Rightarrow x=\frac{1}{2}\)  \(2y=x+z+1=\frac{1}{2}-y+1\Rightarrow y=\frac{1}{2}\)  \(2z=\frac{1}{2}-\left(x+y\right)=\frac{1}{2}-1=-\frac{1}{2}\) 

Vậy có căp \(x;y;z\) thỏa mãn: \(\left(0;0;0\right)\) và \(\left(\frac{1}{2};\frac{1}{2};-\frac{1}{2}\right)\)