\(2\left(y+z\right)=x\left(yz-1\right)\)(1)
\(\Leftrightarrow2y+2z+x=xyz\)
Vì x,y,z là các số dương nên xyz>0
Chia hai vế cho xyz ta được:
\(\dfrac{2}{xz}+\dfrac{2}{xy}+\dfrac{1}{yz}=1\)
Giả sử \(x\ge y\ge z\ge1\) ta có \(1=\dfrac{2}{xz}+\dfrac{2}{xy}+\dfrac{1}{yz}\le\dfrac{2}{z^2}+\dfrac{2}{z^2}+\dfrac{1}{z^2}=\dfrac{5}{z^2}\)
\(\Rightarrow1\le\dfrac{5}{z^2}\) do đó \(z^2\)\(\le5\) nên z=1 hoặc z=2 . Thay z=1 vào (1) ta được:
\(x+2y+2-xy=0\)
\(\Leftrightarrow\left(y-1\right)\left(2-x\right)=-4\)
lập bảng giải ra được \(\left\{{}\begin{matrix}x=6\\y=2\end{matrix}\right.\) và \(\left\{{}\begin{matrix}x=4\\y=3\end{matrix}\right.\) và \(\left\{{}\begin{matrix}x=3\\y=5\end{matrix}\right.\)
Thay z=2 vào (1) ta được :
\(2y-2xy+x+4=0\)
\(\Leftrightarrow\left(1-2y\right)\left(z-1\right)=-5\)
Lập bảng giải tìm được \(\left\{{}\begin{matrix}x=6\\y=1\end{matrix}\right.\) và \(\left\{{}\begin{matrix}x=2\\y=3\end{matrix}\right.\)
Vậy nghiệm của ptđc là (6;2;1) , (4;3;1) , (3;5;1) , (6;1;1) , (2;3;1)