Question

Tìm (x,y) nguyên thỏa mãn phương trình \(x^4-y^4=3x^2+1\)

Answer 1

Lời giải:

PT \(\Leftrightarrow y^4=x^4-3x^2-1\)

Ta thấy:

\(x^4-3x^2-1=(x^2-4x^2+4)+x^2-5=(x^2-2)^2+x^2-5\)

Nếu $x^2-5\leq 0\Rightarrow x^2< 9\Rightarrow -3< x< 3$. Vì $x$ nguyên nên $x\in\left\{\pm 2; \pm 1;0\right\}$

Thử các TH trên ta thấy đều không thỏa mãn.

Do đó $x^2-5>0$.

\(\Rightarrow x^4-3x^2-1=(x^2-2)^2+x^2-5> (x^2-2)^2(*)\)

Mặt khác:

\(x^4-3x^2-1=(x^4-2x^2+1)-(x^2+2)=(x^2-1)^2-(x^2+2)< (x^2-1)^2(**)\)

Từ $(*); (**)\Rightarrow (x^2-1)^2> x^4-3x^2-1> (x^2-2)^2$

$\Leftrightarrow (x^2-1)^2> y^4> (x^2-2)^2$

Theo nguyên lý kẹp thì điều này vô lý

Do đó không tồn tại $x,y$ nguyên thỏa mãn đề bài.