đỗ thị cẩm ly dạng này thì lớp 9 mới chính thức học,nhưng lớp 7 có thể đưa về những dạng quen thuộc để giải ạ.Vd: tìm x để biểu thức y nguyên
Lời giải
Theo đề bài,với x = 1 suy ra \(0y=3\) (vô lí)
Xét \(x\ne1\),chia hai vế của đẳng thức cho x - 1,được:
\(y=\frac{x^2+2}{x-1}=\frac{x^2-1^2}{x-1}+\frac{3}{x-1}\)
\(=\left(x+1\right)+\frac{3}{x-1}\)(dùng đẳng thức:\(a^2-b^2=\left(a-b\right)\left(a+b\right)\) ,tự chứng minh,sẽ ra được kết quả này)
Do x + 1 nguyên (với mọi x thuộc Z),nên để y thuộc Z(tức là y nguyên ấy)
Thì \(\frac{3}{x-1}\inℤ\Rightarrow x-1\inƯ\left(3\right)=\left\{\pm1;\pm3\right\}\)
Suy ra \(x\in\left\{-2;0;2;4\right\}\).Thay từng giá trị của x vào \(y=\frac{x^2+2}{x-1}\) sẽ tìm được y (lưu ý đk y nguyên)
Đầu tiên,xét bài toán phụ: CMR: \(a^2-b^2=\left(a-b\right)\left(a+b\right)\)
Thật vậy,ta có: \(a^2-b^2=\left(a^2+ab\right)-\left(ab+b^2\right)\)
\(=a\left(a+b\right)-b\left(a+b\right)=\left(a-b\right)\left(a+b\right)\)
Trở lại bài toán,ta có \(y\left(x-1\right)-x^2=2\) (chuyển vế)
Thêm 12 vào mỗi vế và áp dụng quy tắc dấu ngoặc:
\(y\left(x-1\right)-\left(x^2-1^2\right)=3\)
\(\Leftrightarrow y\left(x-1\right)-\left(x-1\right)\left(x+1\right)=3\)
\(\Leftrightarrow\left(x-1\right)\left(y-x-1\right)=3\)
Dễ dàng nhận xét rằng \(x-1;y-x-1\inƯ\left(3\right)\)
Xét bốn trường hợp:
TH1: \(\hept{\begin{cases}x-1=-3\\y-x-1=-1\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x=-2\\y=-2\end{cases}}\)
TH2: \(\hept{\begin{cases}x-1=-1\\y-x-1=-3\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x=0\\y=-2\end{cases}}\)
TH3: \(\hept{\begin{cases}x-1=1\\y-x-1=3\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x=2\\y=6\end{cases}}\)
TH4; \(\hept{\begin{cases}x-1=3\\y-x-1=1\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x=4\\y=6\end{cases}}\)
Vậy \(\left(x;y\right)=\left\{\left(-2;-2\right),\left(0;-2\right),\left(2;6\right),\left(4;6\right)\right\}\)
tth a có cách giải pt nghiệm nguyên này. Cũng khá hay
\(x^2+2=y\left(x-1\right)\)
\(\Leftrightarrow y=\frac{x^2+2}{x-1}\)
Vì y nguyên nên \(\frac{x^2+2}{x-1}\)nguyên
Khi đó : \(\left(x^2+2\right)⋮\left(x-1\right)\)
\(\Leftrightarrow\left(x^2-x+x-1+3\right)⋮\left(x-1\right)\)
\(\Leftrightarrow\left[x\left(x-1\right)+\left(x-1\right)+3\right]⋮\left(x-1\right)\)
\(\Leftrightarrow\left[\left(x-1\right)\left(x+1\right)+3\right]⋮\left(x-1\right)\)
Vì \(\left(x-1\right)\left(x+1\right)⋮\left(x-1\right)\)
\(\Rightarrow3⋮\left(x-1\right)\)
\(\Rightarrow x-1\inƯ\left(3\right)=\left\{\pm1;\pm3\right\}\)
\(\Rightarrow x\in\left\{2;0;4;-2\right\}\)
Xét bảng :
| x | 2 | 0 | 4 | -2 |
| y | 6 | -2 | 6 | -2 |
Vậy (x;y)={(2;6),(0;-2),(4;6),(-2;-2)}
Và một tin vui là khi bạn thay các giá trị của x vào sẽ ra luôn y nguyên nên không cần phải loại dựa trên đk nữa!
Cùng một ý tưởng nhưng ta có thể viết lại ý tương trên dưới dạng tích của các đa thức=)
Cơ sở của ý tưởng là: Theo bài trên,ta có:
\(y=\left(x+1\right)+\frac{3}{x-1}\Rightarrow y-x-1=\frac{3}{x-1}\)
\(\Rightarrow\left(x-1\right)\left(y-x-1\right)=3\)
Đợi một tí t sẽ trình bày bài giải.
