\(\frac{\sqrt{x}+3}{\sqrt{x}+1}=1+\frac{2}{\sqrt{x}+1}\in Z\Rightarrow\frac{2}{\sqrt{x}+1}\in Z\)
giả sử \(\sqrt{x}\)là số vô tỉ=>\(\sqrt{x}+1\)là số vô tỉ
=>\(\frac{2}{\sqrt{x}+1}\)là số vô tỉ(vô lí)
với \(\sqrt{x}\in Q\)=>\(\sqrt{x}\in Z\Rightarrow\sqrt{x}+1\in Z\)
mà \(\sqrt{x}+1\ge1\)
Vậy x=0;1 thì \(A\in Z\)
=>\(\sqrt{x}+1\in\left\{1;2\right\}\Rightarrow x\in\left\{0;1\right\}\)
Đặt \(\sqrt{x}=t\)
=> t \(\ge\) 0
\(\Rightarrow\)Để A thuộc Z thì:
\(\frac{t+3}{t+1}\in Z\)
\(=>\left(\frac{t+3}{t+1}-1\right)\in Z\)
\(\frac{2}{t+1}\in Z\)
=> \(2⋮\left(t+1\right)\Rightarrow\left(t+1\right)\inƯ\left(2\right)\)
\(\Rightarrow\left(t+1\right)\in\left\{2;-2;1;-1\right\}\)
=> \(t\in\left\{1;-3;0;-2\right\}\)
Vì \(t\ge0\)nên chỉ có t = 1; t = 0 là thoả mãn điều kiện của t
Vì \(t=\sqrt{x}\)nên :
\(x\in\left\{1;0\right\}\)
Vậy,\(x\in\left\{1;0\right\}\)