Question

tìm tất cả các số tự nhiên có 3 chữ số abc sao cho abc=n^2-1 và cba=(n^2-2)^2

Answer 1

Ta có   abc = a x 100 + b x 10 + c = n² - 1   (1)

                                  cba = c x100 + b x 10 + a = (n-2) ²

                                                                         = (n-2) x n - 2 x (n-2)

                                                                         = n² - 2n - 2n + 4 

                                                                             = n²   - 4n + 4       (2)

                            Trừ 2 vế (1) cho (2) ta co

                                    abc - cba = (ax100 + bx100 + c) - (cx100 + bx10 + a) = (n² - 1)  - (n² - 4n + 4)

                                   ax100 + bx10 +c - cx100 - bx10 - c = n² - 1 - n² + 4n - 4

                                    (ax100 - a) + (bx10 - bx10) + (100xc - c) = (n² - n² ) + 4n - (1+4)

                                  99a - 99c = 4n - 5

                                99 x (a - c) = 4n - 5 

                                    Vì a,c là STN nên a - c là STN  suy ra 4n - 5 : 99 la STN

                                    suy ra 4n - 5 chia hết cho 99 

                              Vi abc la so co 3 chu so  suy ra 99 < abc < 1000,ma abc = n² - 1

                                suy ra abc + 1 =n²  ma n² - 1 cung co 3 chu so suy ra 100<n² <1001 suy ra 10<n<32

                             suy ra 10x4 < nx4 < 32x4 suy ra 40-5 < nx4-5 < 128-5 hay 35 < nx4-5< 123

                              Lại có 4n-5 chia hết cho 99 nên 4n-5 = 99 suy ra n = (99+5) : 4 = 26 

                                 Thay n = 26 vao (1) ta dc    abc = 26² - 1 = 675

                               Vay abc = 675