Không mất tính tổng quát, giả sử \(y\ge x>0\)
\(1+\sqrt{x+y+3}=\sqrt{x}+\sqrt{y}\)
\(\Rightarrow\left(1+\sqrt{x+y+3}\right)^2=\left(\sqrt{x}+\sqrt{y}\right)^2\)
\(\Rightarrow2+\sqrt{x+y+3}=\sqrt{xy}\)
\(\Rightarrow\sqrt{x+y+3}=\sqrt{xy}-2\)
\(\Rightarrow x+y+3=xy-4\sqrt{xy}+4\)
\(\Rightarrow4\sqrt{xy}=\left(x-1\right)\left(y-1\right)\left(\cdot\right)\)
\(\Rightarrow16xy=\left(x-1\right)^2\left(y-1\right)^2\left(1\right)\)
Từ (1), ta suy ra x,y không thể cùng chẵn, và dễ thấy \(x\ne y\Rightarrow y\ge x+1\Rightarrow y-1\ge x\).
- Nếu y chẵn. Từ (1) ta có: \(16xy⋮\left(y-1\right)^2\Rightarrow16x⋮\left(y-1\right)^2\) (do \(\left(y,y-1\right)=1\)).
\(\Rightarrow x⋮\left(y-1\right)^2\) (do \(\left(16,\left(y-1\right)^2\right)=1\) \(\Rightarrow x\ge\left(y-1\right)^2\ge\left(x-1\right)^2\Rightarrow x\in\left\{1;2\right\}\).
*Nếu \(x=1\), từ (1) suy ra \(y=0\), loại.
*Nếu \(x=2\), từ (1) suy ra \(32y=\left(y-1\right)^2\Rightarrow y\notin Z\), loại.
Vậy y lẻ. Xét x lẻ, khi đó \(\left(x-1\right)\left(y-1\right)⋮4\), nên \(\left(1\right)\Rightarrow xy=\left[\dfrac{\left(x-1\right)\left(y-1\right)}{4}\right]^2\).
Vậy xy là một số chính phương (2). Đặt \(d=\left(x,y\right)\). Nếu d>1, tồn tại số nguyên tố p là ước chung của x,y. Từ (1) ta có: \(\left(x-1\right)^2\left(y-1\right)^2⋮p^2\Rightarrow\left(x-1\right)\left(y-1\right)⋮p\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}\left(x-1\right)⋮p\\\left(y-1\right)⋮p\end{matrix}\right.\). Mặt khác, \(\left\{{}\begin{matrix}\left(x,x-1\right)=1\\\left(y,y-1\right)=1\end{matrix}\right.\), nên \(p=1\), vô lý. Vậy \(d=1\), kết hợp với (2), ta suy ra x,y là các số chính phương lẻ.
Từ (1) ta có \(16xy⋮\left(y-1\right)^2\Rightarrow16x⋮\left(y-1\right)^2\Rightarrow16x\ge\left(y-1\right)^2\ge x^2\Rightarrow x\le16\). Do x là số chính phương lẻ và dễ thấy \(x\ne1\), nên \(x=9\). Từ (*) suy ra \(y=4\), loại do \(y\ge x\).
Vậy x chẵn, y lẻ. Từ (1) ta có: \(16xy⋮\left(x-1\right)^2\Rightarrow16y⋮\left(x-1\right)^2\Rightarrow y⋮\left(x-1\right)^2\Rightarrow y\ge\left(x-1\right)^2\).
Mặt khác \(16x\ge\left(y-1\right)^2\), nên \(16xy\ge\left(x-1\right)^2\left(y-1\right)^2\).
Đẳng thức xảy ra khi \(\left\{{}\begin{matrix}16x=\left(y-1\right)^2\\y=\left(x-1\right)^2\end{matrix}\right.\Rightarrow16=x\left(x-2\right)^2\Rightarrow x=4\Rightarrow y=9\).
Mà \(16xy=\left(x-1\right)^2\left(y-1\right)^2\), nên x=4;y=9.
Vậy \(\left(x,y\right)=\left(4,9\right);\left(9,4\right)\)
\(1+\sqrt{x+y+3}=\sqrt{x}+\sqrt{y}\left(x;y\ge0;x+y+3\ge0\right)\)
\(\Leftrightarrow\sqrt{x+y+3}=\sqrt{x}+\sqrt{y}-1\)
\(\Leftrightarrow\left(\sqrt{x+y+3}\right)^2=\left(\sqrt{x}+\sqrt{y}-1\right)^2\)
\(\Leftrightarrow x+y+3=x+y+1+2\left(\sqrt{xy}-\sqrt[]{x}-\sqrt{y}\right)\)
\(\Leftrightarrow2\left(\sqrt{xy}-\sqrt[]{x}-\sqrt{y}\right)=2\)
\(\Leftrightarrow\sqrt{xy}-\sqrt[]{x}-\sqrt{y}=1\)
\(\Leftrightarrow\sqrt[]{x}\left(\sqrt{y}-1\right)-\left(\sqrt{y}-1\right)=2\)
\(\Leftrightarrow\left(\sqrt{y}-1\right)\left(\sqrt[]{x}-1\right)=2\)
\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}\sqrt{y}-1=1;\sqrt[]{x}-1=2\\\sqrt{y}-1=2;\sqrt[]{x}-1=1\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left(x;y\right)=\left(4;9\right);\left(9;4\right)\) (thỏa mãn)
Vậy...