Question

Tìm tất cả các cặp (x; y) nguyên thỏa mãn   \(x^2y^2+\left(x-2\right)^2+\left(2y-2\right)^2-2xy\left(x+2y-4\right)=5\)

Answer 1

                                                                     Giải

5 = x²y² + ( x-2) ² + ( 2y-2)² -2xy(x + 2y -4 )

    = [ x.y - ( x + 2.y -4 ) ] ² - 2 ( y - 1 ) ( x - 2  ) 

    = ( xy - x - 2y + 4 )² -4.( xy - x - 2y + 2 )

    = A²  - 4 ( A - 2 )

    <=> A² - 4.A + 3 = 0

    <=>   \(\orbr{\begin{cases}xy-x-2y+4=3\\xy-x-2y+4=1\end{cases}}\)

Lưu ý : đặt : A = xy - x - 2y + 4 

TH1 : xy - x - 2.y + 4  = 3 

<=> xy - x - 2y + 1        = 0 

<=> x.( y  - 1 ) - 2.(y-1 ) = 1

<=> ( x - 2 )  (  y - 1 ) = 1 

Ta có bảng : 

x-2	1	-1
y - 1	1	-1
x	3	-1
y	2	0

TH2 : xy - x - 2y + 4 = 1 

<=> ( x- 2 ) . ( y -1 ) =-1 

x-2	-1	1
y - 1	1	-1
x	-1	3
y	2	0