Lời giải:
Ta có:
\(n^4+4^{2k+1}=(n^2)^2+(2^{2k+1})^2=(n^2+2^{2k+1})^2-2.n^2.2^{2k+1}\)
\(=(n^2+2^{2k+1})^2-(2^{k+1}n)^2\)
\(=(n^2+2^{2k+1}-2^{k+1}n)(n^2+2^{2k+1}+2^{k+1}n)\)
Để số trên là số nguyên tố thì điều kiện đầu tiên là một trong hai thừa số \(n^2+2^{2k+1}-2^{k+1}n; n^2+2^{2k+1}+2^{k+1}n\) phải bằng 1
Vì \(n^2+2^{2k+1}-2^{k+1}n< n^2+2^{2k+1}+2^{k+1}n\) nên :
\(n^2+2^{2k+1}-2^{k+1}n=1\)
Đặt \(2^{k+1}=t(t>0)\). PT trở thành:
\(n^2+\frac{t^2}{2}-tn=1\)
\(\Leftrightarrow 2n^2+t^2-2tn=2\)
\(\Leftrightarrow (t-n)^2+(n^2-2)=0\)
Nếu \(n\geq 2\Rightarrow n^2-2>0; (t-n)^2\geq 0\)
\(\Rightarrow (t-n)^2+(n^2-2)>0\) (vô lý)
Do đó \(n<2\). Vì \(n\in\mathbb{N}\Rightarrow n\in\left\{0;1\right\}\)
+) \(n=0\Rightarrow t^2-2=0\Rightarrow t\not\in\mathbb{N}\) (vô lý)
+) \(n=1\Rightarrow (t-1)^2=1\Rightarrow t-1=\pm 1\Leftrightarrow t=0;2\)
Thấy \(t>0\Rightarrow t=2\Leftrightarrow 2^{k+1}=2\Leftrightarrow k+1=1\Leftrightarrow k=0\)
Vậy \((n,k)=(1,0)\)