Gọi số đó là n
Viết phân tích ra thừa số nguyên tố của n = ax.by.cz...(a ;b;c;..là các thừa số nguyên tố )
=> Số các ước dương của n là (x+1)(y + 1)(z+1) ...
=> (x+1)(y + 1)(z+1) ... = 16 = 16 = 2.8 =4.4 = 2.2.4 = 2.2.2.2
+) Trường hợp n có 1 thừa số nguyên tố: n = ax
=> x+ 1 = 16 => x = 15 => n = a15 . Vì n nhỏ nhất nên a = 2 => n = 215 = 32 768
+) Trường hợp: n có 2 thừa số nguyên tố n = ax.by (coi x < y)
=> (x+1)(y + 1) = 16 = 2.8 = 4.4
=> x + 1 = 2; y +1 = 8 hoặc x + 1 = 4 và y + 1 = 4
=> x = 1;y = 7 hoặc x = 3; y = 3
=> n = a.b7 hoặc n = a3.b3
Nếu n = a.b7 .để n nhỏ nhất thì chọn số mũ lớn với cơ số nhỏ => a = 3; b = 2 => n = 3.27 = 384
Nếu n = a3.b3 => a = 2;b = 3 => n = 8.27 = 216
+) Trường hợp n có 3 thừa số nguyên tố: n = ax.by.cz
=> (x+1)(y+1)(z+1) = 16 = 2.2.4 => x + 1 = 2; y + 1 = 2; z + 1 = 4 => x = 1; y = 1; z = 3
=> n = a.b.c3 , n nhỏ nhất => n = 3.5.23 = 120
+) Trường hợp n có 4 thừa số nguyên tố : n = ax.bycz.dt
=> (x+1)(y + 1)(z+1)(t + 1) = 16 = 2.2.2.2 => x =y = z = t = 1
=> n = a.b.c.d , n nhỏ nhất => n = 2.3.5.7 = 210
Vì n nhỏ nhất nên từ các trường hợp => n = 120
