Question

Tìm số tự nhiên n sao cho tổng 1!+2!+3!+4!+...+n! là một số chính phương.

Answer 1

Với \(n\ge5\): 

\(1!+2!+3!+4!+5!+...+n!\equiv\left(1!+2!+3!+4!\right)\left(mod10\right)\equiv3\left(mod10\right)\)

Vì \(k!=1.2.3.....k=\left(2.5\right).1.3.4.6.....k\)(Với \(k\ge5\))

mà số chính phương không thể có tận cùng là \(3\)nên loại. 

Tính trực tiếp với các trường hợp \(n=1,2,3,4\)ta được \(n=1\)và \(n=3\)thỏa mãn.