Ta đặt: \(3^n+19=a^2\) (Với a thuộc N)
TH1: Nếu n lẻ thì ta cho \(n=2m+1\)=> \(3^n+19=3^{2m+1}+19=9^m.3+19\)
Có \(9^m\)chia 4 dư 1 => \(9^m.3\)chia 4 dư 3 => \(9^m.3+19\): 4 dư 2
=> \(a^2\)chia 4 dư 2. Nma đây là 1 điều cực vô lí do 1 SCP chỉ : 4 dư 0 hoặc 1
=> n phải chẵn => \(n=2k\)
=> \(9^k+19=a^2\)
<=> \(\left(a-3^k\right)\left(a+3^k\right)=19\)
=> \(a-3^k;a+3^k\)đều là Ư(19). Do \(a-3^k;a+3^k\)là 2 số cùng dấu và \(a+3^k>0\)
=> \(a-3^k>0\) . Và ta còn thấy do a; k thuộc N nên \(a-3^k< a+3^k\)
=> Ta chỉ xét duy nhất 1 TH là: \(a-3^k=1;a+3^k=19\)
=> Cộng lại ta đc: \(2a=20\) <=> \(a=10\) <=> \(n=4\)
Vậy n có nghiệm duy nhất là 4 thì \(3^n+19\) là 1 SCP.
Đặt \(A=3^n+19\)
Ta thấy : \(3^n\) lẻ => \(3^n+19\) chẵn . Nên để A là SCP thì A phải chia hết cho 4
Mà 19 : 4 dư 3 => 3n chia 4 dư 1 ( 1 )
+) Nếu n lẻ = 2a + 1 ( a chẵn ) thì \(3^{2a+1}=3.3^{2a}=3.\left(3^2\right)^a=3.9^a=3.\left(8+1\right)^a\) chia 4 dư 3 trái với khẳng định ( 1 )
Vậy phải chẵn và có dạng 2k
Ta có : \(A=3^{2k}+19\)
+) Nếu k = 0 => A = 20 không phải là SCP ( loại )
+) Nếu k = 1 => A = 28 không phải là SCP ( loại )
+) Nếu k = 2 => A = 100 là SCP ( chọn )
+) Nếu k lớn hơn hoặc bằng 3 thì \(\left(3^k\right)^2< A=\left(3^k\right)^2+19< \left(3^k\right)^2+6k+1=\left(3^k+1\right)^2\)
Vì A nằm giữa 2 SCP liên tiếp 3k và 3k + 1 nên A không thể là SCP => Loại
Vậy với duy nhất n = 2k = 4 thì 3n + 19 là số chính phương