Với n = 0 => A = 1n + 2n + 3n + 4n = 4( loại )
Với n = 1 => A= 1n + 2n + 3n + 4n = 10 \(⋮\)5 ( t/m )
Với n \(\ge\)2
+) Nếu n là số chẵn => n = 2k ( k \(\in\)N)
=> A = 1 + 4k + 9k + 16k
Ta thấy : 4 chia 5 dư ( - 1 ) => 4k chia 5 dư ( -1 )k
: 9 chia 5 dư ( - 1 ) => 9k chia 5 dư ( - 1 )k
: 16 chia 5 dư 1 => 16k chia 5 dư 1
=> A chia 5 dư 1 + ( - 1 )k + ( - 1 )k + 1
Nếu k chẵn => A chia 5 dư 4 ( loại )
Nếu k lẻ => k = 2m + 1 ( m \(\in\)N )
=> A = 1 + 42m . 4 + 92m . 9 + 162m . 16
= 1 + 16m . 4 + 81m . 9 + 256m .16
Vì 16 ; 81 ; 256 chia 5 dư 1 => A chia 5 có số dư bằng ( 1 + 4 + 9 +16 ) cho 5 => A \(⋮\) 5
=> n = 2. ( 2m + 1 ) = 4m + 2 thì A \(⋮\)5
Nếu n lẻ => n = 2h + 1 ( h \(\in\)N
=> A = 1 + 4h . 2 + 9h . 3 + 16h . 4
=> A chia 5 dư 1 +( -1)h .2 + (-1)h . 3 + 4
Khi h lẻ để A \(⋮\)5 => n = 2. ( 2.i + 1 ) + 1 = 4.i + 3 ( i \(\in\)N )
+) TH1: n = 4k; k là số tự nhiên
Ta có: \(1^n+2^n+3^n+4^n=1^{4k}+2^{4k}+3^{4k}+4^{4k}\equiv4\left(mod5\right)\)
=> n = 4k loại
+) TH2: n = 4k + 1; k là số tự nhiên
Ta có: \(1^n+2^n+3^n+4^n=1^{4k+1}+2^{4k+1}+3^{4k+1}+4^{4k+1}\equiv0\left(mod5\right)\)
=> n = 4k + 1 thỏa mãn
+) TH3: n = 4k + 2; k là số tự nhiên
Ta có: \(1^n+2^n+3^n+4^n=1^{4k+2}+2^{4k+2}+3^{4k+2}+4^{4k+2}\equiv0\left(mod5\right)\)
=> n = 4k + 2 thỏa mãn
+) Th4: n = 4k + 3; k là số tự nhiên
Ta có: \(1^n+2^n+3^n+4^n=1^{4k+3}+2^{4k+3}+3^{4k+3}+4^{4k+3}\equiv0\left(mod5\right)\)
=> n = 4k + 4 thỏa mãn
Vậy với mọi số tự nhiên n khác 4k hay n không chia hết cho 4 thì
\(1^n+2^n+3^n+4^n\)chia hết cho 5
Mình thiếu ý ở đoạn cuối nha !
Bạn nối tiếp vào đoạn cuối nè !
Vậy n = 1 ; n chia 4 dư 2 hoặc 3 thì A chia hết cho 5
✰๖ۣۜŠɦαɗøω✰
Em chú ý: Dòng thứ 2 từ dưới lên ấy
\(A:5\)dư \(1+\left(-1\right)^h.2+\left(-1\right)^h.3+4=5+\left(-1\right)^h.5\)chia hết cho 5 với mọi h chứ không riêng h lẻ đâu nhé!
Vậy em còn thiếu trường hợp: n chia 4 dư 1.
Em cám ơn cô ạ !
Không có cô giải thích thì lúc em đi thi em làm sai mất ạ !
Em cám ơn cô !