tham khảo:
trước hết cần chú ý rằng mọi số tự nhiên đều viết được dưới 1 trong 3 dạng: 3k, 3k +1 hoặc 3k +2(với k là số tự nhiên)
+) nếu p = 3k vì p là số nguyên tố nên k = 1 => p = 3 => p+10 = 13 là số nguyên tố; p+14 = 17 là số nguyên tố (1)
+) nếu p = 3k +1 => p +14 = 3k+1+14 = 3k+15 = 3(k+5) chia hết cho 3 và lớn hơn 3 nên là hợp số (loại vì không thỏa mẫn điều kiện đề bài) (2)
+) Nếu p=3k+2 => p+10 = 3k+2+10 = 3k+12 = 3(k+4) chia hết cho 3 và lớn hơn 3 nên là hợp số (loại vì không thỏa mẫn điều kiện đề bài) (3)
từ (1), (2), (3) suy ra p=3 là giá trị cần tìm.
p là số nguyên tố nên p = 3 hoặc p = 3k+1 hoặc p = 3k+2 (k\(\in\text{N*}\)).
TH1: p=3
\(\Rightarrow p+14=3+14=17\left(TM\right);p+40=3+40=43\left(TM\right)\).
TH2: p=3k+1.
\(\Rightarrow p+14=3k+1+14=3k+15=3\left(k+15\right)⋮3\Rightarrow\)\(p+15\) là hợp số (KTM).
TH3: p=3k+2
\(\Rightarrow p+40=3k+2+40=3k+42=3\left(k+14\right)⋮3\)\(\Rightarrow\)\(p+40\) là hợp số (KTM).
Vậy chỉ có p=3 là giá trị duy nhất thỏa mãn đề bài.