Question

Tìm số nguyên n sao cho n,n+1 là số chính phương

 

Answer 1

Ta có (n;n + 1) = 1

=> n và n + 1 là số chình phương khi 

n(n + 1) chình phương 

Đặt số chính phương đó là m² ( m \(\inℤ\))

Khi đó n(n + 1) = m² 

=> n² + n = m² 

=> 4n² + 4n = 4m² 

=> 4n² + 4n + 1 - 4m² = 1 

=> 4n² + 2n + 2n + 1 - (2m)² = 1

=> 2n(2n + 1) + (2n + 1) - (2m)² = 1

=> (2n + 1)² - (2m)² = 1

=> (2n + 1)² - (2n + 1).2m + 2m(2n + 1) - (2m)² = 1

=> (2n + 1)(2n + 1 - 2m) + 2m(2n + 1 - 2m) = 1

=> (2n + 2m + 1)(2n - 2m + 1) = 1

Vì \(n;m\inℤ\Rightarrow\hept{\begin{cases}2n+2m+1\inℤ\\2n-2m+1\inℤ\end{cases}}\)

mà 1 = 1.1 = (-1).(-1) 

Lập bảng xét các trường hợp 

2n + 2m + 1	1	-1
2n - 2m + 1	1	-1
n	0	-1 (loại)

Vậy n = 0