Đặt \(\left\{{}\begin{matrix}n-5=a^3\left(1\right)\\n+2=b^3\left(2\right)\end{matrix}\right.\) \(\left(a,b\inℤ;a< b\right)\)
\(\left(1\right)\Leftrightarrow n=a^3+5\)
Thay vào (2), ta có \(a^3+5+2=b^3\Leftrightarrow b^3-a^3=7\Leftrightarrow\left(b-a\right)\left(b^2+ab+a^2\right)=7\)
Vì \(a< b\Leftrightarrow b-a>0\), mà \(\left(b-a\right)\left(a^2+ab+b^2\right)=7>0\)\(\Rightarrow a^2+ab+b^2>0\)
Ta chỉ xét 2 trường hợp:
TH1: \(\left\{{}\begin{matrix}b-a=1\\a^2+ab+b^2=7\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}b=a+1\\a^2+a\left(a+1\right)+\left(a+1\right)^2=7\end{matrix}\right.\)
Giải phương trình thứ hai, ta được \(a^2+a^2+a+a^2+2a+1=7\)\(\Leftrightarrow3a^2+3a-6=0\)\(\Leftrightarrow a^2+a-2=0\)\(\Leftrightarrow a^2-a+2a-2=0\)\(\Leftrightarrow a\left(a-1\right)+2\left(a-1\right)=0\)\(\Leftrightarrow\left(a-1\right)\left(a+2\right)=0\)\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}a=1\\a=-2\end{matrix}\right.\) (nhận)
Với \(a=1\) thì \(b=a+1=1+1=2\) (nhận) từ đó \(n-5=a^3=1^3=1\Rightarrow n=6\)
Thử lại: \(n+2=6+2=8=2^3=b^3\) (nhận)
TH2: \(\left\{{}\begin{matrix}b-a=7\\a^2+ab+b^2=1\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}b=a+7\\a^2+a\left(a+7\right)+\left(a+7\right)^2=1\end{matrix}\right.\)
Giải phương trình thứ hai, ta được \(a^2+a^2+7a+a^2+14a+49=1\)\(\Leftrightarrow3a^2+21a+48=0\)\(\Leftrightarrow a^2+7a+16=0\)\(\Leftrightarrow4a^2+28a+64=0\)\(\Leftrightarrow\left[\left(2a\right)^2+2.2a.7+7^2\right]+15=0\)\(\Leftrightarrow\left(2a+7\right)^2+15=0\)\(\Leftrightarrow\left(2a+7\right)^2=-15\) (vô lí)
Vậy ta loại TH2
Do đó để \(n-5\) và \(n+2\) đều là lập phương của 1 số nguyên thì \(n=6\)