Ta có:
\(x^2-8x+13=\left(4-\sqrt{3}\right)^2-8\left(4-\sqrt{3}\right)+13\)
\(=16-8\sqrt{3}+3-32+8\sqrt{3}+13=0\)
Ta có:
\(A=\frac{x^4-6x^3-2x^2+18x+23}{x^2-8x+15}\)
\(=\frac{\left(x^4-8x^3+13x^2\right)+\left(2x^3-16x^2+26x\right)+\left(x^2-8x+13\right)+10}{\left(x^2-8x+13\right)+2}\)
\(=\frac{10}{2}=5\)
1/ Theo vi-et ta có:
\(\hept{\begin{cases}x_1+x_2=13\\x_1.x_2=1\end{cases}}\)
Ta có:
\(x_1^4+x_1^{-4}=x_1^4+\frac{1}{x_1^4}=x_1^4+x_2^4\)
\(=\left(x_1^2+x_2^2\right)^2-2x_1^2x_2^2=\left[\left(x_1+x_2\right)^2-2x_1x_2\right]^2-2x_1^2x_2^2\)
\(=\left(13^2-2\right)^2-2=27887\)
3/ Giả sử b là nghiệm chung thì ta có:
\(\hept{\begin{cases}b^2+ab+1=0\left(1\right)\\b^2-b-a=0\left(2\right)\end{cases}}\)
Lấy (1) - (2) vế theo vế ta được:
\(ab+1+a+b=0\)
\(\Leftrightarrow\left(a+1\right)\left(b+1\right)=0\)
Tới đây thì đơn giản rồi
Nhiều vậy thì ai làm nổi chứ mình chỉ làm được bài 3 thôi.
alibaba nguyễn làm đúng rồi đó, mình làm tiếp.
b là nghiệm thực chung thì ta có :
\(\hept{\begin{cases}b^2+ab+1=0_{\left(1\right)}\\b^2-b-a=0_{\left(2\right)}\end{cases}}\)
Lấy (1) trừ đi (2) thì ta có :
\(ab+1+a+b=0\)
\(\Leftrightarrow\left(a+1\right)\times\left(b+1\right)=0\)
\(TH1:a+1=0\)
\(\Leftrightarrow a=0-1\)
\(\Leftrightarrow a=\left(-1\right)\)
\(TH2:b+1=0\)
\(\Leftrightarrow b=0-1\)
\(\Leftrightarrow b=\left(-1\right)\)
Kết luận : Vậy \(a=\left(-1\right)\)
Ta thấy \(n\left(n+1\right)\left(n+2\right)⋮6\)
Mà (6;247) = 1 nên \(n\left(n+1\right)\left(n+2\right)⋮1428\)
Từ đó ta có \(n\left(n+1\right)\left(n+2\right)=38.39.k\)
Ta thấy n = 37 thỏa mãn. Ta chứng minh rằng với n < 37 thì phương trình trên không thỏa mãn.
Nếu n < 37 thì n + 1 < 38, n + 2 < 39, vậy thì \(n⋮k\) và n khác k.
Đặt \(n=kx\) (n , k < 37 , x > 1)
Ta có \(kx\left(kx+1\right)\left(kx+2\right)=38.39.k\)
\(\Rightarrow x\left(kx+1\right)\left(kx+2\right)=38.39\)
Ta thấy \(38.39=2.3.13.19=1.38.39\) (Chỉ có một trường hợp duy nhất tách được thành 2 số tự nhiên liên tiếp)
Vậy nên x = 1 (Trái với điều kiện)
Vậy thì n nhỏ nhất bằng 37.