HP

Tìm \(n\in\) N* để: \(\sqrt{44...4\times88...8}\in N\)

                             n chữ số 4     n chữ số 8

TT
16 tháng 9 2015 lúc 9:16

Bổ đề.  \(\sqrt{2}\) là số vô tỉ. 

Chứng minh. Phản chứng giả sử  \(\sqrt{2}\) là số hữu tỉ thì \(\sqrt{2}=\frac{p}{q}\) với \(p,q\) là số nguyên dương, nguyên tố cùng nhau. Do đó \(2q^2=p^2\to p\vdots2\to p=2p_1\to q^2=2p_1^2\to q\vdots2\to q=2q_1\to2q_1^2=p_1^2\to\cdots\) ta sẽ suy ra \(p=2p_1=2^2p_2=2^3p_3=\cdots=2^np_n\to p\vdots2^n\) với mọi số nguyên dương \(n,\) suy ra \(p=0\to\sqrt{2}=0,\) vô lí.
Vậy  \(\sqrt{2}\) là số vô tỉ. 


Đặt \(44\ldots4=4\times11\ldots1=4\cdot\frac{10^n-1}{9},88\ldots8=8\times\frac{10^n-1}{9}.\) Do đó mà \(A=\sqrt{44\ldots4\times88\ldots8}=\sqrt{32\cdot\left(\frac{10^n-1}{9}\right)^2}=\frac{10^n-1}{9}\cdot4\sqrt{2}.\)  Vì vậy nếu A là số tự nhiên thì \(\sqrt{2}=\frac{A}{4\times\frac{10^n-1}{9}}\) là số hữu tỉ. Điều này mâu thuẫn với nhận xét trên.

Vậy không có số nguyên dương n nào thoả mãn yêu cầu.

Bình luận (0)

Các câu hỏi tương tự
NN
Xem chi tiết
HP
Xem chi tiết
H24
Xem chi tiết
H24
Xem chi tiết
LD
Xem chi tiết
NL
Xem chi tiết
ND
Xem chi tiết
TL
Xem chi tiết
NL
Xem chi tiết