Question

Tìm \(n\in N\) để \(n^4+4\) là số nguyên tố

Answer 1

n⁴ + 4 = (n²)² + 4.n² + 4 - 4.n^2​  = (n² + 2)² - (2n)² = (n² + 2 - 2n) . (n² +2 + 2n) = [(n -1)² + 1] . [(n + 1)² +1] 

Vì n là số tự nhiên nên xét các trường hợp

-Nếu n = 0 thì n⁴ + 4 = [(0 - 1)² + 1] . [(0 + 1)² + 1] = 2 . 2 = 2² là hợp số, loại

-Nếu n = 1 thì n⁴ + 4 = [(1 - 1)² + 1] . [(1 + 1)² +1] = 1 . 5 = 5 là số nguyên tố, chọn

-Nếu n > 1 thì n⁴ + 4 là tích của hai số lớn hơn 1 là [(n -1)² + 1] và [(n + 1)² +1] . Tích của hai số lớn hơn 1 luôn là hợp số, loại

                  Vậy n = 1 để n⁴ + 4 là số nguyên tố.

Answer 2

n⁴ + 4 = (n²)² + 4.n² + 4 - 4.n^2​  = (n² + 2)² - (2n)² = (n² + 2 - 2n) . (n² +2 + 2n) = [(n -1)² + 1] . [(n + 1)² +1] 

Vì n là số tự nhiên nên xét các trường hợp

-Nếu n = 0 thì n⁴ + 4 = [(0 - 1)² + 1] . [(0 + 1)² + 1] = 2 . 2 = 2² là hợp số, loại

-Nếu n = 1 thì n⁴ + 4 = [(1 - 1)² + 1] . [(1 + 1)² +1] = 1 . 5 = 5 là số nguyên tố, chọn

-Nếu n > 1 thì n⁴ + 4 là tích của hai số lớn hơn 1 là [(n -1)² + 1] và [(n + 1)² +1] . Tích của hai số lớn hơn 1 luôn là hợp số, loại

                  Vậy n = 1 để n⁴ + 4 là số nguyên tố.

Answer 3

n⁴ + 4 = (n²)² + 4.n² + 4 - 4.n^2​  = (n² + 2)² - (2n)² = (n² + 2 - 2n) . (n² +2 + 2n) = [(n -1)² + 1] . [(n + 1)² +1] 

Vì n là số tự nhiên nên xét các trường hợp

-Nếu n = 0 thì n⁴ + 4 = [(0 - 1)² + 1] . [(0 + 1)² + 1] = 2 . 2 = 2² là hợp số, loại

-Nếu n = 1 thì n⁴ + 4 = [(1 - 1)² + 1] . [(1 + 1)² +1] = 1 . 5 = 5 là số nguyên tố, chọn

-Nếu n > 1 thì n⁴ + 4 là tích của hai số lớn hơn 1 là [(n -1)² + 1] và [(n + 1)² +1] . Tích của hai số lớn hơn 1 luôn là hợp số, loại

                  Vậy n = 1 để n⁴ + 4 là số nguyên tố.