\(x^2+\left(x+1\right)^2=y^4+\left(y+1\right)^4\)
\(\Leftrightarrow x^2-y^4=\left(y+1\right)^4-\left(x+1\right)^2\)
\(\Leftrightarrow x^2-\left(y^2\right)^2=\left(\left(y+1\right)^2\right)^2-\left(x+1\right)^2\)
\(\Leftrightarrow\left(x-y^2\right)\left(x+y^2\right)=\left(\left(y+1\right)^2+x+1\right)\left(\left(y+1\right)^2-x-1\right)\)
\(\Leftrightarrow\left(x-y^2\right)\left(x+y^2\right)=\left(y^2+2y+1+x+1\right)\left(y^2+2y+1-x-1\right)\)
\(\Leftrightarrow\left(x-y^2\right)\left(x+y^2\right)=\left(y^2+2y+x+2\right)\left(y^2+2y-x\right)\)
\(\Leftrightarrow\frac{\left(x-y^2\right)}{\left(y^2+2y-x\right)}=\frac{\left(y^2+2y+x+2\right)}{\left(x+y^2\right)}\)
Đến đây dễ dàng tính rồi nhé -_<
Nhận thấy : x = y = 0 vàâm một x = y = - 1 thỏa mãn phương trình.
Xét x và y khác không , khác âm một:
\(Đặt:...x^2+\left(x+1\right)^2=y^4+\left(y+1\right)^4=a.\) Thì \(a\in Z\)
- Xem phương trình bậc hai ẩn x : \(x^2+\left(x+1\right)^2=a\Leftrightarrow2x^2+2x+(1-a)=0.\)Phương trình phải có nghiệm nguyên, Có :\(\Delta^,=1-2\left(1-a\right)=(2a-1)>0\Leftrightarrow a>\frac{1}{2}.\)\(,.a\in Z\)
Các nghiệm là \(x_1=\frac{-1-\sqrt{2a-1}}{2}\) \(x_2=\frac{-1+\sqrt{2a-1}}{2}.\) Các nghiệm này là các số nguyên. Điều này xẩy ra khi a = 25 và khi đó x1 = - 4 ; x2 = 3 . Tuy nhiên khi a = 25 thì không có số nguyên y nào thỏa mãn \(y^4+\left(y+1\right)^4=25\) (*)
Phương trình (*) có nghiệm thì - 3 < y < 3, ( Vì ( - 3)4 = 34 = 81> 25 ) Kiểm tra các giá trị của y : - 2 ; 1 ; 2 đều không thỏa mãn.
Lưu ý: x2 và (x + 1)2 là bình phương của hai số nguyên liên tiếp, Ta biết rằng 32 + 42 = 52 có duy nhất bộ ba này. Do đó x2 + (x + 1)2 = a có nghiệm nguyên chỉ khi a = 25 và x = - 4 , x = 3
Trả lời : Phương trình có nghiệm: x = y = 0 và x = y = - 1