Câu hỏi của ILoveMath

Question

Tìm n tự nhiên không quá 200 sao cho: $\left(2.8^n+n^3-16n+1\right)⋮3$

Nguyễn Hoàng Minh · Accepted Answer

$\left(2\cdot8^n+n^3-16n+1\right)⋮3$Ta có $2\cdot8^n+n^3-16n+1=2^{3n+1}+n\left(n-2\right)\left(n+2\right)+1$Vì $2^{3n+1}⋮̸3;1⋮̸3$ nên $2^{3n+1}+1⋮3;n\left(n-2\right)\left(n+2\right)⋮3$Ta thấy $n;n-2;n+2$ là 3 số cách đều 2 nên tích của chúng chia hết cho 3Vậy cần tìm n sao cho $2^{3n+1}+1⋮3$Ta có $1:3R2$ nên $2^{3n+1}:3R2$Mà $n< 200\Leftrightarrow2^{3n+1}< 2^{601}:3R2$Ta thấy với $2^1;2^3;2^5;...$ đều chia 3 dư 2Quy luật: 2 mũ lẻ chia 3 dư 2$\Rightarrow3n+1\in\left\{1;3;5;...;601\right\}\
\Rightarrow n\in\left\{0;\dfrac{2}{3};\dfrac{4}{3};...;\dfrac{200}{3}\right\}$Mà $n\in N$Vậy $n=0$Câu trả lời: $\left(2\cdot8^n+n^3-16n+1\right)⋮3$Ta có $2\cdot8^n+n^3-16n+1=2^{3n+1}+n\left(n-2\right)\left(n+2\right)+1$Vì $2^{3n+1}⋮̸3;1⋮̸3$ nên $2^{3n+1}+1⋮3;n\left(n-2\right)\left(n+2\right)⋮3$Ta thấy $n;n-2;n+2$ là 3 số cách đều 2 nên tích của chúng chia hết cho 3Vậy cần tìm n sao cho $2^{3n+1}+1⋮3$Ta có $1:3R2$ nên $2^{3n+1}:3R2$Mà $n< 200\Leftrightarrow2^{3n+1}< 2^{601}:3R2$Ta thấy với $2^1;2^3;2^5;...$ đều chia 3 dư 2Quy luật: 2 mũ lẻ chia 3 dư 2$\Rightarrow3n+1\in\left\{1;3;5;...;601\right\}\
\Rightarrow n\in\left\{0;\dfrac{2}{3};\dfrac{4}{3};...;\dfrac{200}{3}\right\}$Mà $n\in N$Vậy $n=0$

Khoá học trên OLM (olm.vn)

Khoá học trên OLM (olm.vn)